Множество всех полиномов степени не выше . - раздел Математика, Линейная алгебра Элементами Множества ...
Элементами множества являются полиномы вида , причем старшая степень может изменяться от нуля до .Сумма двух любых полиномов из множества и произведение любого полинома на число также принадлежат исходному множеству .Аксиомы выполняются для таких полиномов, что проверяется непосредственно. Роль нулевого полинома играет полином, у которого все коэффициенты равны нулю, а противоположным элементом для любого полинома служит . Множество будет вещественным или комплексным линейным пространством в зависимости от того, рассматриваем ли мы полиномы с вещественными или комплексными коэффициентами. Заметим, что множество всех полиномов степени, точно равной натуральному числу ,не образуют линейное пространство, так как сумма двух таких полиномов может оказаться со степенью меньшей ,и операция суммирования выводит нас за рамки исходного множества, что недопустимо по определению линейного пространства.
Например, и полиномы второй степени, а их сумма является полиномом первой степени.
Из аксиом, определяющих линейное пространство, можно в качестве логических следствий получить ряд утверждений, справедливых для любых линейных пространств.
Определение.Вектор , удовлетворяющий уравнению для любых из , называют разностью векторов и, и обозначают . Операцию, которая ставит в соответствие любым двум элементам из третий элемент из , называют вычитанием.
Для того, чтобы введенное определение было корректным, необходимо доказать теорему о существовании и единственности решения уравнения .
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Множество всех полиномов степени не выше .
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет
Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно
Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство
Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра
Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из оп
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл
Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов
Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.
2. Скалярное произведение двух
Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы
Новости и инфо для студентов