Реферат Курсовая Конспект
Линейные геометрические объекты. - раздел Математика, Линейная алгебра Определение.Пусть ...
|
Определение.Пусть есть некоторый ненулевой вектор, а - произвольный вектор из . Множество элементов линейного пространства вида , где параметр пробегает множество вещественных чисел, называют прямой проходящей через точку по направлению вектора .
При прямая проходит через нулевой вектор пространства и представляет собой линейную оболочку направляющего вектора . Как и любая линейная оболочка эта прямая является линейным подпространством. Размерность этого подпространства равна единице, так как любой вектор может быть представлен в виде разложения по одному вектору , а любые два вектора такой прямой линейно зависимы.
В общем случае, при , прямая получается из линейного подпространства сдвигом на вектор .
Определение.Любое подмножество линейного пространства, полученное путем сдвига на некоторый фиксированный вектор, называют линейным многообразием. При этом размерность линейного многообразия считают равной размерности исходного подпространства.
Таким образом, прямая в линейном пространстве является одномерным линейным многообразием.
В реальном пространстве трехмерных арифметических векторов (точек) прямая задается векторно-параметрическим уравнением , где - компоненты произвольной точки на прямой, - компоненты некоторой фиксированной точки на прямой, - компоненты направляющего вектора, - параметр.
Если прямую задают с помощью геометрических векторов, то ее определяют как множество точек в реальном пространстве, задаваемых уравнением в векторно-параметрической форме , где - радиус-вектор произвольной точки на прямой, - радиус-вектор некоторой выбранной точки на прямой, - направляющий геометрический вектор.
Представив векторно-параметрическое уравнение прямой в реальном пространстве в покомпонентной записи, получаем три скалярных уравнения
которые называются параметрическими уравнениями прямой.
Разрешая, полученные параметрические уравнения, относительно параметра и приравнивая полученные соотношения, приходим к каноническим уравнениям прямой
.
Замечание.Если одна или две компоненты направляющего вектора прямой равны нулю, то канонические уравнения принято записывать в символической форме, сохраняя нули в знаменателях.
Пример. Пусть некоторая прямая в реальном пространстве задана параметрическими уравнениями вида Тогда символическая запись канонических уравнений в виде означает, что данная прямая проходит через точку по направлению вектора .
Определение.Две любые прямые и линейного пространства называются параллельными, если их направляющие векторы и являются коллинеарными.
Пример. Пусть прямая имеет векторное уравнение, а прямая имеет векторное уравнение. По определению эти прямые являются параллельными, так как направляющий вектор второй прямой линейно выражается через направляющий вектор первой прямой по формуле , что позволяет считать направляющие векторы и коллинеарными.
Определение.Две любые прямые и евклидова пространства называются перпендикулярными, если их направляющие векторы и являются ортогональными.
В частности, если прямые и заданы в реальном пространстве, то их направляющие векторы имеют, например, вид и . По определению эти прямые перпендикулярны, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю, т.е. Аналогично, если прямые и заданы на плоскости, то их направляющие векторы имеют вид и , а условие их перпендикулярности задается равенствами
Пример. Пусть прямая на плоскости задана уравнением с угловым коэффициентом в виде. Ее параметрические уравнения можно записать в виде:
Отсюда направляющий вектор этой прямой равен и прямая проходит через точку . Найдем прямую , проходящую через ту же точку , перпендикулярно первой прямой . Направляющий вектор прямой будем искать из условия перпендикулярности прямых, так что: .
Таким образом, параметрические уравнения прямой можно записать в виде
а ее уравнение с угловым коэффициентом будет иметь вид .
Определение.Угол между любыми прямыми и евклидова пространства определяется как наименьший угол между их направляющими векторами и , и вычисляется по формуле .
В частности, если прямые и заданы в реальном пространстве, то их направляющие векторы имеют вид и .
По определению, угол между прямыми и рассчитывается по формуле:
.
Пример. Пусть прямые и на плоскости заданы уравнениями с угловым коэффициентом в видеи . Направляющий вектор первой прямой равен и прямая проходит через точку Направляющий вектор второй прямой равен и прямая проходит через точку По определению, угол между этими прямыми рассчитывается по формуле . Часто, пользуясь приведенной выше формулой, угол между двумя прямыми на плоскости выражают с помощью функции арктангенса по формуле .
Отметим также, что векторы и являются коллинеарными только в том случае, когда их вторые компоненты равны, т.е. . Отсюда следует, что прямые и , заданные уравнениями с угловым коэффициентом, параллельны, когда их угловые коэффициенты равны.
Через любые две различные точки и векторного пространства проходит одна и только одна прямая. Единственная прямая, проходящая через точки и , находится из общего уравнения прямой , и записывается в виде при векторно-параметрической форме записи, или в виде при точечной интерпретации арифметических векторов. Отметим, что при получаем , а при имеем .
Определение.Множество точек линейного пространства , задаваемых с помощью равенства вида называют отрезком, соединяющим точки, и обозначают.
В частности, в реальном пространстве отрезок задается при параметре с помощью параметрических уравнений где точка является левой границей отрезка, а точка есть правая граница отрезка.
Определение. Точка отрезкаделит его в отношении , если для направленных отрезков, выполняется равенство .
Для нахождения точки решается векторное уравнение , равносильное уравнению , о котором говорится в определении точки деления
В точечно-векторной записи получаем решение . Отсюда компоненты точки вычисляются по формулам
Если по условию задачи задано отношение , то из предшествующих формул следует, что точка находится по формуле , а компоненты точки вычисляются по формулам
Сравнивая последние формулы с определением отрезка, получаем, что точка находится из уравнения отрезка при условии, что параметр равен значению .
Если, в частности, требуется разделить отрезок в отношении , то изо всех приведенных формул следует, что точка лежит в центре отрезка и равна .
Определение.Пусть есть некоторое натуральное число, строго меньшее, чем размерность векторного пространства . Множество векторов линейного пространства вида называют -мерной плоскостью, проходящей через вектор , если - некоторый фиксированный вектор, параметры независимо друг от друга пробегают множество вещественных чисел, векторыобразуют систему линейно независимых векторов.
При плоскость проходит через нулевой вектор пространства и представляет собой линейную оболочку линейно независимых векторов . Как и любая линейная оболочка, плоскость, проходящая через нулевой вектор, является линейным подпространством. Размерность этого подпространства равна , так как любой вектор такой плоскости может быть представлен в виде разложения по векторам.
В общем случае, если , -мерная плоскость получается из линейной оболочки, натянутой на векторы, сдвигом на вектор .
Таким образом, можно сказать, что -мерная плоскость в линейном пространстве является -мерным линейным многообразием.
Одномерные плоскости есть определенные ранее прямые. Плоскости размерности называются гиперплоскостями.
В реальном пространстве трехмерных арифметических векторов (точек) плоскость размерности два совпадает с гиперплоскостью, и обычно называется плоскостью.
Определение.Множество точек реального пространства вида называют плоскостью, проходящей через точку , если - некоторая фиксированная точка, параметры независимо друг от друга пробегают множество вещественных чисел, арифметические векторыобразуют систему линейно независимых векторов.
Реальное пространство имеет размерность три и является, по определению, пространством со скалярным произведением, т.е. является евклидовым пространством. Тогда для двух линейно независимых векторов , задающих направление плоскости, можно, используя алгоритм Грамма-Шмидта, построить третий ненулевой вектор , ортогональный им, таким образом, чтобы и .
Определение.Плоскость в реальном трехмерном пространстве задается с помощью векторно-точечного уравнения , где есть произвольный арифметический вектор (произвольная точка на плоскости), есть некоторый фиксированный арифметический вектор (фиксированная точка на плоскости), есть ненулевой, нормальный вектор.
Если плоскость задают с помощью геометрических векторов, то ее определяют как множество точек в реальном пространстве, задаваемых уравнением плоскости в векторной форме , где - радиус-вектор произвольной точки на плоскости, - радиус-вектор некоторой выбранной точки на плоскости, - нормальный геометрический вектор.
Зададим векторно-параметрическое уравнение плоскости в реальном пространстве в покомпонентной записи. Полученное уравнение , переписанное в стандартных буквенных обозначениях , называют общим уравнением плоскости.Отметим, что коэффициенты , стоящие в общем уравнении плоскости при переменных , являются компонентами нормального вектора, т.е. .
Пример. Пусть некоторая плоскость в реальном пространстве задана общим уравнением . Тогда нормальный вектор плоскости имеет вид , его направляющие косинусы имеют значения , а любая точка плоскости находится из общего уравнения, например, в виде .
С помощью векторно-точечного уравнения наша плоскость может быть задана в виде .
Определение.Две любые плоскости и реального пространства называются параллельными, если их нормальные векторы и являются коллинеарными. Если оба нормальных вектора имеют отличные от нуля компоненты, то условие параллельности плоскостей имеет вид .
Пример. Пусть плоскость задана общим уравнением , а плоскость задана векторным уравнениемПо определению эти плоскости являются параллельными, так как нормальный вектор второй плоскости линейно выражается через нормальный вектор первой плоскости по формуле , что позволяет считать направляющие векторы коллинеарными.
Определение.Две любые плоскости и реального пространства называются перпендикулярными, если их нормальные векторы и являются ортогональными, т.е. их скалярное произведение равно нулю .
Пример. Пусть плоскость задана общим уравнением , а плоскость задана векторным уравнениемПо определению эти плоскости являются перпендикулярными, так как скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю , т.е. векторы - ортогональны.
Определение.Угол между любыми плоскости и реального пространства определяется как меньший угол между их нормальными векторами и , и вычисляется по формуле .
Пример. Пусть требуется провести плоскость через некоторую фиксированную точку параллельно двум неколлинеарным векторам и . Так как векторыи по условию являются неколлинеарными, то их векторное произведениеравно некоторому ненулевому вектору, который перпендикулярен обоим векторам и . Поэтому нормальный вектор плоскости можно выбрать равным , т.е. .
Обозначим произвольную точку плоскости. Направленный отрезок лежит в искомой плоскости. Отсюда следует, что векторное уравнение задает искомую плоскость . Подставляя в уравнение вместо вектора равный ему вектор , получим уравнение , где в левой части стоит смешанное произведение векторов. Если в полученное векторное уравнение подставить компоненты векторов, то уравнение плоскости находят, раскрывая определитель .
В частности, пусть требуется провести плоскость через точку параллельно двум неколлинеарным векторам и .
Подставляя данные примера в выведенное уравнение с определителем, получим
.
Пример. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки , , , не лежащие на одной прямой. Обозначим произвольную точку плоскости. Направленные отрезки , , лежат в искомой плоскости. Так как точки , , не лежат на одной прямой, то векторы , являются неколлинеарными. Их векторное произведение равно некоторому ненулевому вектору, который перпендикулярен обоим векторам , , и может рассматриваться как нормальный вектор плоскости.
По аналогии с предшествующей задачей, уравнение искомой плоскости можно найти, раскрывая определитель .
В частности, составим уравнение плоскости, проходящей через три точки , , .
Подставляя координаты точек в уравнение с определителем в левой части, получим
.
Определение.Углом между прямой и плоскостью в реальном пространстве называется меньший угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Для определения угла между прямой и плоскостью используется направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости, а сам угол вычисляется по формуле
.
Пример. Вычислим угол между прямой
заданной как пересечение двух плоскостей, и плоскостью , заданной уравнением в общем виде .
Направляющий вектор прямой найдем как векторное произведение нормального вектора первой плоскости и нормального вектора второй плоскости
.
Отсюда, по формуле находим угол между прямой и плоскостью
.
Пример. Найти ортогональную проекцию некоторой точки на плоскость и расстояние от точки до плоскости .
Под ортогональной проекцией точки на плоскость понимают точку пересечения прямой, перпендикулярной к плоскости, с указанной плоскостью. Расстояние от точки до плоскости находят как расстояние от точки до точки .
Если прямая перпендикулярна плоскости , то ее направляющий вектор может быть выбран равным нормальному вектору плоскости . Запишем уравнение прямой , проходящей через точку , в виде С тем, чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью , подставим параметрические уравнения прямой в плоскость. В результате получим следующее линейное уравнение относительно параметра : . Отсюда находится значение параметра , соответствующее ортогональной проекции , и координаты точки в следующем виде: ,
Расстояние между точками и равно длине направленного отрезка и вычисляется по формуле .
В частности, найдем проекцию точки на плоскость и расстояние от точки до плоскости .
В соответствии с общими формулами:
,
.
Пример. Найти ортогональную проекцию некоторой точки на прямую и расстояние от точки до прямой .
Под ортогональной проекцией точки на прямую понимают точку пересечения плоскости , перпендикулярной к исходной прямой, с исходной прямой. Расстояние от точки до прямой находят как расстояние от точки до точки .
Если плоскость перпендикулярна прямой , то нормальный вектор плоскости может быть выбран равным направляющему вектору исходной прямой .
Запишем уравнение плоскости , перпендикулярной к исходной прямой, и проходящей через точку , в виде . Чтобы найти точку пересечения плоскости с прямой , подставим параметрические уравнения прямой в плоскость.
В результате получим следующее линейное уравнение относительно параметра : .
Отсюда находится значение параметра , соответствующее ортогональной проекции , и координаты точки в следующем виде: ,
Расстояние между точками и равно длине направленного отрезка и вычисляется по формуле .
В частности, найдем проекцию точки на прямую и расстояние от точки до плоскости . В соответствии с общими формулами:
,
.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: "Линейная алгебра"
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейные геометрические объекты.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов