Теорема Грама-Шмидта (о существовании ортонормированного базиса). - раздел Математика, Линейная алгебра Во Всяком ...
Во всяком -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис .
Доказательство.Согласно аксиоме размерности в пространстве имеется линейно независимая система из векторов . Покажем, что можно построить систему из векторов линейно выражающихся через векторы системы , и образующих ортонормированный базис.
Доказательство проведем по методу математической индукции.
1. При утверждение теоремы очевидно. Если есть ненулевой вектор, то один нормированный вектор образует ортонормированный базис.
2. Предположим, что в каждом - мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, и докажем то же утверждение для произвольного .
Пусть есть произвольный базис в пространстве . Линейная оболочка векторов системы представляет собой евклидово пространство размерности и, по предположению индукции, там существует ортонормированная система из векторов . Построим новый -тый вектор .
Коэффициенты выберем такими, чтобы новый вектор был ортогонален всем векторам системы . Так как система является ортонормированной, получим , откуда для всех .
Нормируем вектор , т.е. построим единичный вектор По построению вектор ортогонален векторам системы и имеет единичную длину. Таким образом, найдена ортонормированная система векторов , которая линейно независима и является базисом евклидова пространства . На этом завершается доказательство теоремы Грамма-Шмидта по методу математической индукции.
Конструктивный метод, с помощью которого был построен ортонормированный базис при доказательстве теоремы, называют методом ортогонализации Грама-Шмидта.
При практической реализации метода Грама-Шмидта, отправляясь от системы векторов ,последовательно находят ортонормированные векторы в соответствии со следующим алгоритмом:
Отметим, что в каждом евклидовом пространстве существует бесконечно много ортонормированных базисов. Так, начиная процесс ортогонализации с любого ненулевого вектора, можно построить некоторый ортонормированный базис.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет
Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно
Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство
Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра
Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из оп
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл
Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов
Доказательство.
Пусть есть ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства. Предположим, что выполняется ра
Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.
2. Скалярное произведение двух
Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы
Новости и инфо для студентов