Подстановка в определенных интегралах - раздел Математика,
Лекция 40. Вычисление Определенного Интеграла. Замена Переменно...
Лекция 40. Вычисление определенного интеграла. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Некоторые приложения определенных интегралов. Понятие о несобственных интегралах.
Подстановка в определенных интегралах.
Пусть y = f(x) – непрерывная на промежутке [a; b] оси ox функция, а - непрерывная на промежутке [α; β] функция, имеющая к тому же на [α;β] непрерывную производную (то есть x=φ(t) – непрерывно дифференцируемая на [α; β] функция). Кроме того, будем считать, что когда переменная t меняется от α до β, то переменная x = φ(t) меняется от a до b. Таким образом, φ(α) = b и φ(β) = b. Тогда при вычислении можно совершить подстановку по следующей схеме:
x
a b
t
α β
(1)
Докажем правомочность схемы (1). Пусть
(2)
Здесь F(x) – некоторая первообразная для функции f(x). То есть F΄(x) = f(x). Но тогда, по правилу вычисления производной сложной функции,
(3)
Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница
(4)
Равенство результатов (2) и (4) и доказывает правомочность схемы (1).
Кстати, сравнивая схему (1) вычисления определенных интегралов с помощью подстановки с аналогичной схемой вычисления неопределенных интегралов, можно увидеть и то, что в этих схемах общее, и то, что различно.
Примечание. На практике часто бывает удобнее делать подстановку не вида x = φ(t), а вида t = φ(x).
Вычисление определенных интегралов по частям.
Мы уже знаем, что по частям можно вычислять неопределенные интегралы. Для этого используется уже полученная формула . Но по частям можно вычислять и определенные интегралы. Это делается по внешне похожей формуле (5):
(5)
Здесь и – любыедве непрерывные на [a; b] функции, имеющие на этом промежутке и непрерывные производные и (то есть и - непрерывно дифференцируемые на [a; b] функции).
Докажем формулу (5). Учтем, что
(6)
Функция , стоящая в этом равенстве справа, согласно указанных выше условий для функций и , является непрерывной на промежутке [a; b]. Значит, существует определенный интеграл от нее:
(7)
С другой стороны, согласно (6), функция является первообразной для функции . А значит, по формуле Ньютона-Лейбница получаем:
(8)
Сравнивая (7) и (8), приходим к доказываемой формуле (5).
б) Если f(x) – непрерывная и нечетная на промежутке [-a; a] функция, то
(10)
Доказательство. Рассмотрим рисунки 1(а) и 1(б), соответствующие случаям (а) и…
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Подстановка в определенных интегралах
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Вычисления определенного интеграла с помощью формулы Симпсона на компьютере
В данной работе рассматриваетсяименно последняя.Рассмотрим функцию y f x . Будем считать, что на отрезке a, b она положительна и непрерывна.Найдем… Соединив A с P и B с Q, получим 3 прямолинейные трапеции aAPp, pPQq,qQBb.Тогда… Пусть нужно проинтегрироватьфункцию f x x sup3 x - 5 sup2 на отрезке 0, 6 рис.2 . На этом отрезке функция непрерывна и…
Приближенное вычисление определенных интегралов
Этаформула тем точнее, чем больше n.Рассмотрим в качестве примера интеграл . Точное значение этого интеграла находится просто Вычислим теперь по… Пусть n 5. Тогда имеем a x0 0,x1 0,2, x2 0,4, x3 0,6, x4 0,8, x5 1 bи… Так, например, при n 10т.е. абсолютная ошибка меньше 0,002.В более полных курсах высшей математики доказывается,что…
Применение определенного интеграла к решению физических задач на вычисление кинетической энергии
Толщина пластинки d равна 0,3 см, плотность материала, из которого сделана пластинка, равна 8 кг см2689. Треугольная пластинка, основание которой a… Предположим, что некоторая система тел находится в определенном состоянии,… В общем случае эти изменения могут быть не только механическими, но и химическими, электрическими и т.д. После…
Свойства определенного интеграла
Говорят, что число является интегралом Римана от функции на отрезке , если для любого найдется такое , что для любого разбиения с отмеченными… Необходимое условие интегрируемости. Утверждение. Если функция , определенная… Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может только возрасти, а верхняя только…
Свойства определенного интеграла
Пусть функция интегрируема на отрезке Положим по определению и... Аддитивность Пусть ограниченная кусочно непрерывная функция определена в...
0.043
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева
Вывод на экран.1. Общая постановка ианализ задачи. 1. Требуется найти определенный интеграл I по квадратурной формуле Чебышева.Рассмотрим,… Кроме того, функция часто задаетсятаблично.
Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование.Задача численного…
Новости и инфо для студентов