Реферат Курсовая Конспект
Скалярное поле - раздел Математика, Лекция №18 ...
|
Лекция №18
Элементы теории поля
Векторные линии.
Определение. Векторной линией векторного поля называется линия, в каждой точке которой касательная совпадает с вектором соответствующим этой точке.
Чтобы изучить определённое векторное поле, изучают расположение векторных линий.
- это система дифференциальных уравнений семейства векторных линий поля .
Физическая интерпретация
Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения . Тогда масса жидкости, которая протечёт за единицу времени через поверхность S будет равна потоку векторного поля через поверхность S.
Свойства циркуляции
Свойство аддитивности циркуляции: циркуляция по контуру Γ есть сумма циркуляций по контурам Γ1 и Γ2, то есть C = C1 + C2
Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка.
Оператор Гамильтона (Оператор набла) - это векторный дифференциальный оператор, который в декартовых координатах определяется формулой:
Сам векторне имеет реального значения, он приобретает определённый смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.
Представим grad, div и rot через оператор набла:
1. Произведение вектора на скалярную функцию даёт градиент этой функции
.
2. Скалярное произведение вектора на векторную функцию даёт дивергенцию этой функции
.
3. Векторное произведение вектора на векторную функциюдаёт ротор этой функции
.
Действия взятия градиента, дивергенции, ротора называются векторными дифференциальными операциями первого порядка, т.к. в них участвуют только первые производные.
В приложениях встречаются векторные дифференциальные операции второго порядка.
Операторназывается оператор Лапласа в декартовых координатах.
Дифференциальные операторы второго порядка:
Интегральные теоремы
Теорема о градиенте
Теорема о дивергенции
Теорема о роторе
Пример применения MATLAB
Задача.
Дано: В объёме тетраэдра скалярное и векторное поля изменяются по линейному закону. Координаты вершин тетраэдра заданы матрицей вида [x1, y1, z1; x2, y2, z2; x3, y3, z3; x4, y4, z4]. Значения скалярного поля в вершинах заданы матрицей [Ф1; Ф2; Ф3; Ф4]. Декартовы компоненты векторного поля в вершинах заданы матрицей [F1x, F1y, F1z; F2x, F2y, F2z; F3x, F3y, F3z; F4x, F4y, F4z].
Определить в объёме тетраэдра градиент скалярного поля, а также дивергенцию и ротор векторного поля. Составить для этого функцию MATLAB.
Решение. Ниже приведён текст m-функции.
% grad_div_rot - Вычисление градиента, дивергенции и ротора ... в объёме тетраэдра
% [grad,div,rot]=grad_div_rot(nodes,scalar,vector)
% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% nodes - матрица координат вершин тетраэдра:
% строкам соответствуют вершины, столбцам - координаты;
% scalar - столбцовая матрица значений скалярного поля в вершинах;
% vector - матрица компонентов векторного поля в вершинах:
% строкам соответствуют вершины, столбцам - декартовы компоненты.
% ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% grad - матрица-строка декартовых компонентов градиента скалярного поля;
% div - значение дивергенции векторного поля в объёме тетраэдра;
% rot - матрица-строка декартовых компонентов ротора векторного поля.
%
% При вычислениях предполагается, что в объёме тетраэдра
% векторное и скалярное поля изменяются в пространстве по линейному закону.
function [grad,div,rot]=grad_div_rot(nodes,scalar,vector);
a=inv([ones(4,1) nodes]); % Матрица коэффициентов линейной интерполяции
grad=(a(2:end,:)*scalar).'; % Компоненты градиента скалярного поля
div=[a(2,:) a(3,:) a(4,:)]*vector(:); % Дивергенция векторного поля
rot=sum(cross(a(2:end,:),vector.'),2).';
Пример запуска разработанной m-функции:
>> nodes=10*rand(4,3)
nodes =3.5287 2.0277 1.9881 8.1317 1.9872 0.15274 0.098613 6.0379 7.4679 1.3889 2.7219 4.451
>> scalar=rand(4,1)
scalar = 0.93181 0.46599 0.41865 0.84622
>> vector=rand(4,3)
vector = 0.52515 0.01964 0.50281 0.20265 0.68128 0.70947 0.67214 0.37948 0.42889
0.83812 0.8318 0.30462
>> [grad,div,rot]=grad_div_rot(nodes,scalar,vector)
grad = -0.16983 -0.03922 -0.17125
div = -1.0112
rot = -0.91808 0.20057 0.78844
Если предположить, что пространственные координаты измеряются в метрах, а векторное и скалярное поля - безразмерные, то в данном примере получилось:
grad Ф = (-0.16983*1x - 0.03922*1y - 0.17125*1z) м-1;
div F = -1.0112 м-1;
rot F = (-0.91808*1x + 0.20057*1y + 0.78844*1z) м-1.
– Конец работы –
Используемые теги: Скалярное, поле0.052
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Скалярное поле
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов