Реферат Курсовая Конспект
Множество действительных чисел - раздел Математика, Лекция 1 Множества. ...
|
Лекция 1
Множества.
Множество действительных чисел.
Виды числовых множеств.
Окрестность точки.
Математический анализ функций одной переменной.
Операции над множествами.
Для визуализации отношений между множествами и операций над множествами обычно используются диаграммы Эйлера-Венна, на которых представлены результаты операций над множествами точек как над геометрическими фигурами на плоскости. Универсальное множество обычно обозначают графически в виде множества точек прямоугольника, а отдельные множества в виде отдельных областей (кругов или овалов) внутри этого прямоугольника.
Определение 1: Объединением (или суммой) двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств, то есть или А, или В:
По аналогии с алгеброй чисел объединение иногда называют суммой множеств, так как операция объединения множеств обладает многими свойствами операции сложения чисел.
Определение 2: Пересечением (или произведением) двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит обоим этим множествам, то есть и А, и В:
По аналогии с алгеброй чисел пересечение иногда называют произведением множеств, так как операция пересечения множеств обладает многими свойствами операции умножения чисел.
Определение 3: Разностью двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству В:
Множество АВ называется также дополнением множества В относительно множества А.
Определение 4: Если U – универсальное множество и АÌU, то разность UA называется дополнением множества А до множества U, или просто дополнением множества А и обозначается Ā:
Определение 5: Симметрической разностью двух множеств А и В называется новое множество, обозначаемое АDВ и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат АВ или ВА:
Пример:
Выписать все подмножества трёхэлементного множества М={а, b, c}.
М
{а, b, c}
{а, b} {а, c} {b, c}
{а } {b} { c}
Æ
Определение 6: Алгебра множеств — это непустая система подмножеств (некоторого множества U), замкнутая относительно операций объединения, пересечения, дополнения и симметрической разности.
Например, алгебра натуральных чисел незамкнута относительно вычитания.
В теории алгебры множеств множества Æ и U играют такую же роль, что и числа 0 и 1 в теории алгебры чисел.
Основные свойства алгебры множеств:
Объединение È | Пересечение Ç | Разность | Симметрическая разность D | |
Коммутативность | АÈВ=ВÈА | АÇВ=ВÇА | ¾ | АDВ=ВDА |
Ассоциативность | (АÈВ)ÈС=АÈ(ВÈС) | (АÇВ)ÇС=АÇ(ВÇС) | ¾ | (АDВ)DС=АD(ВDС) |
Дистрибутивность | (АÇВ)ÈС=(АÇС)È(ВÇС) | (АÈВ)ÇС=(АÈС)Ç(ВÈС) | ¾ | ¾ |
Дистрибутивность | (АВ)ÈС=(АС)È(ВС) | (АВ)ÇС=(АС)Ç(ВС) | ¾ | ¾ |
АÈА= | АÇА= | АА= | АDА=Æ | |
АÈĀ= | АÇĀ= | АĀ= | АDĀ= | |
ĀÈА= | ĀÇА= | ĀА= | ĀDА= | |
АÈÆ= | АÇÆ= | АÆ= | АDÆ=А | |
ÆÈА= | ÆÇА= | ÆА= | ÆDА=А | |
АÈU= | АÇU= | АU= | АDU= | |
UÈА= | UÇА= | UА= | UDА= | |
UÈÆ= | UÇÆ= | UÆ= | UDÆ= | |
ÆÈU= | ÆÇU= | ÆU= | ÆDU= | |
Законы де Моргана | ¾ | ¾ | ||
¾ |
Основные свойства вещественных чисел.
Лекция 2
Алгебраическая форма комплексного числа.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Показательная форма комплексного числа.
Основные действия над комплексными числами.
Комплексные числа.
Определение 3Два комплексных числа z=а+ib и `z=а-ib, отличающихся только знаком мнимой части, называются сопряженными.
Определение 4Два комплексных числа z1=а1+ib1 и z2=а2+ib2, считаются равными z1=z2, если равны в отдельности их действительные и мнимые части, то есть а1=а2, b1=b2.
Определение 5Комплексное число z равно нулю тогда и только тогда, когда равны в отдельности нулю его действительная и мнимая части, то есть а=0, b=0.
Определение 2:На плоскости комплексного переменного z ось Оу называют мнимой осью, а ось Ох называют действительной осью.
Соединив точку А(а, b) с началом координат, получим вектор ОА, который принято считать геометрическим изображением комплексного числа z=а+ib.
Кроме записи z=а+ib употребляют z=х+iу.
Произведение двух комплексных чисел есть такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.
Замечание 1: Произведение сопряженных комплексных чисел z=а+ib и`z=а-ib есть действительное число и выражается так:
z`z = а2+b2
Произведение сопряженных комплексных чисел равняется квадрату модуля каждого из них.
· Деление комплексных чисел. Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению.
Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя; аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Замечание 2: Из правил действий над комплексными числами следует, что в результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел получается снова комплексное число.
Если правила действий над комплексными числами применить к действительным числам, рассматривая их как частный случай комплексных, то эти правила будут совпадать с обычными правилами действий, известными из арифметики.
Замечание 3Вернувшись к определениям суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел, легко проверить, что если в этих выражениях заменить каждое комплексное число сопряженным, то и результаты указанных действий заменяются сопряженными числами. Отсюда, в частности, вытекает следующая теорема:
Теорема :Если в многочлен с действительными коэффициентами
А0хn+А1хn-1+ ...+Ап
подставить вместо х число а+ib, а затем сопряженное число а-ib, то и результаты этих подстановок будут взаимно сопряженными.
Например: Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме и тригонометрической форме и сопоставить результаты: z1=-2+2i; z2=1-i
Лекция 3
Возведение комплексного числа в степень.
Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.
Числа
b=0 a=0
Лекция 4
Разложение многочлена на множители.
Виды многочленов.
Кратные корни многочлена.
Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней.
Многочлены.
Лекция 5
Разложение рациональной функции на элементарные дроби
Полярная система координат
Понятие функции
Способы задания функции
Классификация функций
Заметим, что не всякая линия является графиком функции.
Определение 6: Функция называется явной, если она задана формулой y=f(x).
Определение 7: Функция называется неявной, если она задана уравнением F(x; у)=0.
Способы задания функции.
Существуют три основных способа задания функций: аналитический, табличный и графический.
1) Аналитический способ - зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы, указывающей, какие и в каком порядке действия нужно выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента.
2) Табличный способ - зависимость между переменными величинами определяется с помощью указанной таблицы. Область определения – множество чисел, расположенных в первой строке (столбце) таблицы, область значений – множество чисел, расположенных во второй строке (столбце) таблицы. Так задаются функции с конечными значениями.
3) Графический способ - зависимость между переменными задаётся посредством графика.
Определение 1: Если на некотором множестве X определена функция z=j(x) со множеством значений Z, а на множестве Z - функция y=f(z), то функция у=f[j(х)] называется сложной функцией от х (или суперпозицией функций j(x)и f(z)), а переменная z - промежуточной переменной сложной функции.
Определение 2: Пусть X и Y—некоторые множества и пусть задана функция f, т. е. множество пар чисел (х; у) (хÎX, уÎY), в котором каждое число х входит в одну и только одну пару, а каждое число y - по крайней мере в одну пару. Если в каждой паре этого множества числа х и у поменять местами, то получим множество пар чисел (у; х), которое называется обратной функцией j к функции f.
Обратная функция в данном понимании может функцией и не являться.
Функция может быть задана параметрически на множестве Х посредством переменной t, называемой параметром:
Классификация функций.
Определение 1: Простейшими элементарными функциями являются:
· постоянная функция f(х)=С, С=const,
· степенная функция f(х)=хa (a—любое число),
· показательная функция f(х)=ах (0<а¹1),
· логарифмическая функция f(х)=logaх (0<а¹1),
· тригонометрические функции f(х)=sinx, f(х)=cosx, f(х)=tgx, f(х)=ctgx,
· обратные тригонометрические функции f(х)=arcsinx, f(х)=arccosx, f(х)=arctgх, f(х)=arcctgx.
Определение 2: Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над простейшими элементарными функциями, а также суперпозицией этих функций, составляют класс элементарных функций.
На основании определения следует, что элементарные функции являются функции заданные аналитически.
Классификация элементарных функций:
1) Функция вида Р(х)=a0хm+a1хm-1+…+am-1х+am, где m³0 - целое число, a0, a1, …, am-1, am любые числа — коэффициенты (а0¹0), называется целой рациональной функцией или многочленом степени m. Многочлен первой степени называется также линейной функцией.
2) Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций
, называется дробно-рациональной функцией.
Совокупность целых рациональных (1) и дробно-рациональных (2) функций образует класс рациональных функций.
3) Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми, так и с дробными показателями и не являющаяся рациональной, называется иррациональной.
Алгебраические функции: рациональные (1 и 2) и иррациональные (3).
4) Всякая функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной функцией.
Лекция 6
Числовая последовательность
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Предел числовой последовательности
Лекция 7
Предел функции
Основные теоремы о пределах
Два замечательных предела
Два замечательных предела.
Первый замечательный предел (0/0):
Второй замечательный предел (1¥):
Лекция 8
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Эквивалентные бесконечно малые функции
Непрерывность функции в точке
Эквивалентные бесконечно малые функции.
при х®0:
Лекция 9
Классификация точек разрыва
Непрерывность функции на промежутке
Производная функции
Классификация точек разрыва
Определение 1: Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в точке х0 не является непрерывной.
Разрывы функций классифицируются следующим образом.
Разрыв первого рода.
Определение 2: Точка х0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные правый и левый пределы и
а) если правый и левый пределы равны друг другу, но не равны значению функции f(x) в этой точке, то х0 называется точкой устранимого разрыва и имеет место скачок функции.
б) если правый и левый пределы не равны друг другу, то х0 называется точкой конечного разрыва.
Разрыв второго рода.
Определение 3: Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов, или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Лекция 10
Понятие дифференциала
Производные высших порядков
Дифференциалы высших порядков
Дифференцирование функции заданной параметрически
Логарифмическое дифференцирование.
При дифференцировании выражений, имеющих вид, удобный для логарифмирования, можно предварительно выполнить логарифмирование.
Замечание: Если в качестве переменной дифференцирования выступает у (переменная, которая является не аргументом, а функцией), необходимо вычислять производную согласно рассмотренным правилам, обязательно умножая на у¢ (на производную внутренней функции).
Продифференцировать функцию: .
Продифференцировать функцию: .
.
Дифференцируя обе части уравнения получаем:
Для вычисления второй производной, дифференцируем обе части уравнения, получаем:
Лекция 11
Лекция 12
Таблица неопределённых интегралов некоторых функций.
1.) | 2.) |
3.) | 4.) |
5.) | 6.) |
7.) | 8.) |
9.) | 10.) |
11.) | 12.) |
13.) | 14.) |
15.) | 16.) |
17.) | 18.) |
19.) | 20.) |
21.) | 22.) |
23.) | 24.) |
25.) | 26.) |
27.) | 28.) |
Формула Ньютона Лейбница.
Замена переменной в определённом интеграле: | Интегрирование по частям в определённом интеграле: |
Лекция 13
Ответ:, где С=const
Тригонометрические подстановки.
Для подынтегральных выражений, содержащих радикалы, а также их квадраты удобны тригонометрические подстановки:
Интегралы вида .
Интегралы вида:
рационализируются подстановкой:
Геометрические приложения определённого интеграла.
Площадь криволинейной трапеции:
· в прямоугольных координатах;
· в полярных координатах.
Объём тела вращения.
Лекция 14
Ответ: ряд сходится.
·
Применим признак Коши для положительного ряда:
Ответ: ряд сходится.
·
Применим признак Лейбница для знакопеременного ряда. Так как члены ряда стремятся к нулю всё время убывая по абсолютному значению, следовательно, ряд сходится:
Ответ: ряд расходится.
Лекция 15
Ряд Тейлора
Лекция 16
Дифференциальные уравнения. Основные понятия
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут содержаться дифференциалы.
Если неизвестные функции зависят от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными. Будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.
Общий вид дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией таков:
F(х, у, у', у", ..., у(n)) = 0.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.
Функция у=j(х) называется решением дифференциального уравнения, если последнее обращается в тождество после подстановки у=j(х).
Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений данного дифференциального уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла. Поэтому решение дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс нахождения всех решений — интегрированием дифференциального уравнения.
Вообще интегралом данного дифференциального уравнения называют всякое уравнение, не содержащее производных, из которого данное дифференциальное уравнение вытекает как следствие.
ДУ I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными
Если ДУ I имеет вид: Р(х)dx+Q(y)dy=0, в котором Р зависит только от х, а Q зависит только от у, то оно является ДУ I с разделёнными переменными.
Общий интеграл уравнения с разделёнными переменными представляется уравнением:
Если ДУ I имеет вид: X1Y1dy+X2Y2dx=0, в котором X1 и X2 зависят только от х, а Y1 и Y2 зависят только от у, то оно является ДУ I с разделяющимися переменными и приводится к ДУ I с разделёнными переменными. Процесс приведения называется разделением переменных.
§70 Однородное ДУ I порядка (ОДУ I )
Пусть ДУ I имеет вид: Мdx+Ndy=0 – оно называется однородным ОДУ I, если отношение M/N можно представить как функцию отношения y/x. Это отношение обозначим через t:
Тогда с помощью данной подстановки ОДУ I приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Случаи понижения порядка
Иногда ДУ II или более высокого порядков допускает понижение порядка. Рассмотрим два случая:
Случай I: уравнение не содержит у.
Тогда в качестве неизвестной функции берётся величина у¢, а за аргумент принимаем х. При этом производные второго и высших порядков преобразуем по формулам:
Случай II: уравнение не содержит х.
Тогда в качестве неизвестной функции берётся величина у¢, а за аргумент принимаем у. При этом производные второго и высших порядков преобразуем по формулам:
ЛДУ II
ЛДУ II называется уравнение вида: у²+Р(x)у¢+Q(x)у=R(x), где функции Р(х), Q(x), R(x) не зависят от х.
Если R(x)=0, то уравнение называется уравнением без правой части или однородным ЛОДУ II.
Если R(x)≠0, то уравнение называется уравнением с правой части или неоднородным ЛНДУ II.
Уравнения с разделяющимися переменными
Если ДУ−I имеет вид: Р(х)dx+Q(y)dy=0, в котором Р зависит только от х, а Q зависит только от у, то оно является ДУ−I с разделёнными переменными.
Общий интеграл уравнения с разделёнными переменными представляется уравнением:
Если ДУ−I имеет вид: X1Y1dy+X2Y2dx=0, в котором X1 и X2 зависят только от х, а Y1 и Y2 зависят только от у, то оно является ДУ−I с разделяющимися переменными и приводится к ДУ−I с разделёнными переменными. Процесс приведения называется разделением переменных.
Линейное ДУ−I порядка (ЛДУ−I)
Пусть ДУ−I имеет вид: Мdx+Ndy=0 – оно называется ЛДУ−I, если отношение M/N содержит у лишь в первой степени. ЛДУ−I принято записывать в виде у¢+Р(x)у=Q(x) где Р(x) и Q(x) непрерывные функции от х.
· Если Q(x)=0, то уравнение принимает вид у¢+Р(x)у=0 и оно называется ЛОДУ−I или линейным уравнением без правой части. В этом случае оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
· Если Q(x)≠0, то уравнение называется ЛНДУ−I или линейным уравнением с правой части. В этом случае его можно решить методом Бернулли или методом Лагранжа.
– Конец работы –
Используемые теги: Множество, действительных, чисел0.06
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Множество действительных чисел
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов