Реферат Курсовая Конспект
Производящая функция - раздел Математика, Лекция № 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Степенной Ряд ...
|
Степенной ряд , коэффициентами которого являются элементы последовательности , называется производящей функцией. Последовательность чисел однозначно определяет производящую функцию, но обратное утверждение верно не всегда. Если указанный степенной ряд сходится, то коэффициенты определяются по F(z) однозначно. Производящая функция отличается от z-преобразования только тем, что степени (при разложении этой функции в степенной ряд) положительны, в то время как у z-преобразования – они отрицательны. Простой заменой переменной можно преобразовать производящую функцию в z-преобразование. Поэтому для производящих функций справедливы все теоремы дискретного преобразования Лапласа.
Пусть – производящая функция последовательности чисел , а a и b – произвольные фиксированные числа.
Поскольку , то последовательности отвечает производящая функция . Это соответствует свойству линейности преобразования Лапласа. Далее, если взять произведение производящих функций
,
то последовательность чисел может быть получена из последовательностей и с помощью соотношения
.
Последняя формула следует из теоремы о свертке двух решетчатых функций.
Пример 10.1. Найдем производящие функции последовательностей чисел {1} и {n}.
Решение: Последовательности {1} соответствует ряд:
.
Для доказательства необходимо левую и правую часть умножить на .
Последовательности чисел {n} соответствует ряд
.
Поскольку выражение в скобках в правой части равенства получается дифференцированием ряда , то оно равно производной от функции 1/(1 – z). Следовательно, правая часть равна
.
Следующая задача показывает, что производящие функции могут быть полезными при решении линейных рекуррентных уравнений.
Пример 10.2. Решить уравнение (уравнение Фибоначчи) с начальными условиями .
Решение: Обозначим через F(z) производящую функцию последовательности чисел . Умножая обе части рекуррентного уравнения на , получим
, n = 0, 1, 2 …
Складывая эти равенства для всех n от 0 до ∞, имеем:
.
Заметим, что первая сумма в левой части равенства равна разности функции F(z) и первых двух членов её разложения , вторая сумма равна разности F(z) и первого члена , а третья сумма равна F(z). Поэтому можем записать
[F(z) – (1 + z)] – z [F(z) – 1] – z2 F(z) = 0.
Отсюда находим
,
где ; . В результате получим
.
Таким образом:
Члены последовательности, полученной в этой задаче, известны как числа Фибоначчи.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Введение... Обыкновенные дифференциальные уравнения ОДУ не относятся к области дискретной математики Мы рассмотрим этот тип...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Производящая функция
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов