Реферат Курсовая Конспект
Линейная и векторная алгебра - раздел Математика, Министерство Аграрной Политики Украины Луганский Национальный Аграрн...
|
МИНИСТЕРСТВО АГРАРНОЙ ПОЛИТИКИ УКРАИНЫ
ЛУГАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Л.И. Леви, Е.А. Рыбинцева
Кафедра
физико-математических
дисциплин
Линейная и векторная алгебра
Аналитическая геометрия
НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Методические указания
К практическим занятиям, индивидуальной
И самостоятельной работе с заданиями
для расчётно-графической работы
Для студентов экономических специальностей
аграрных высших учебных заведений Украины
ЛУГАНСК – 2007
УДК 681.513:62-50
Составители:
ЛЕВИ Л.И., доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой физико- математических дисциплин;
РЫБИНЦЕВА Е.А., ассистент кафедры физико-математических дисциплин.
Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.Методические указания к практическим занятиям, индивидуальной и самостоятельной работе с заданиями для расчётно-графической работы. Для студентов экономических специальностей аграрных высших учебных заведений Украины. / Л.И. Леви, Е.А. Рыбинцева. – Луганск, изд-во ЛНАУ, 2007. – 65с.
Рецензенты:
ГРИБАНОВ В.М., доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики Восточноукраинского национального университета им. В. Даля;
КОВАЛЬ А.В., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физико-математических дисциплин Луганского национального аграрного университета.
Издание рассмотрено и рекомендовано к печати на заседании кафедры физико-математических дисциплин (протокол № 2 от 9 октября 2007г.);
на заседании методической комиссии экономического факультета (протокол № 1 от 12 октября 2007г.).
СОДЕРЖАНИЕ
1. | Линейная алгебра | |
1.1. | Системы линейных уравнений | |
1.2. | Метод обратной матрицы | |
1.3. | Метод Крамера | |
1.4. | Метод Гаусса | |
1.5. | Вопросы для самоконтроля | |
2. | Аналитическая геометрия на плоскости | |
2.1. | Линии первого порядка | |
2.2. | Линии второго порядка | |
2.3. | Вопросы для самоконтроля | |
3. | Векторная алгебра | |
3.1. | Основные определения и понятия | |
3.2. | Скалярное произведение векторов | |
3.3. | Векторное произведение векторов | |
3.4. | Смешанное произведение векторов | |
3.5. | Вопросы для самоконтроля | |
4. | Аналитическая геометрия в пространстве | |
4.1. | Плоскость в пространстве | |
4.2. | Прямая в пространстве | |
4.3. | Прямая и плоскость в пространстве | |
4.4. | Вопросы для самоконтроля | |
Литература | ||
Индивидуальные задания к расчётно-графической работе | ||
Таблицы выбора номеров заданий для выполнения РГР |
1. Линейная алгебра
Аналитическая геометрия на плоскости
Рис. 1
Если а = 0, то прямая совпадает с осью Оу. Уравнение оси ординат Оу имеет вид: х = 0.
3. А = 0 (В ¹ 0). Уравнение имеет вид: Ву + С = 0 или у = b, где b = . Прямая проходит через точку В(0; b), она параллельна оси Ох. Число b есть величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу (рис. 2).
Рис. 2
Если b = 0, то прямая совпадает с осью абсцисс Ох. Уравнение оси абсцисс Ох имеет вид: у = 0.
Уравнение прямой в отрезках на осях определяется уравнением:
,
где числа а и b являются величинами отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях (рис. 3).
Рис. 3
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(х0; у0) перпендикулярно нормальному вектору = {A; B}, определяется по формуле:
А(х – х0) + В(у – у0) = 0.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(х0; у0) параллельно направляющему вектору = {l; m}, имеет вид:
.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(х1; у1) и М2(х2; у2), определяется уравнением:
.
Угловым коэффициентом прямой k называется тангенс угла наклона прямой к оси Ох, который отсчитывается от положительного направления оси к прямой против часовой стрелки, k = tgα.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид:
у = kх + b,
где k = tgα, b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу (рис. 4).
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(х0; у0) в данном направлении (угловой коэффициент k известен), определяется по формуле:
у – у0 = k(х – х0).
Уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку М(х0; у0) (угловой коэффициент k неизвестен), определяется по формуле:
у – у0 = k(х – х0).
Рис. 4
Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых
А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0, определяется по формуле:
α(А1х + В1у + С1) + β(А2х + В2у + С2) = 0.
Угол j, отсчитанный против часовой стрелки от прямой у = k1х + b1 к прямой у = k2х + b2, определяется формулой (рис. 5):
.
Рис. 5
Для прямых, заданных общими уравнениями А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0, угол между двумя прямыми определяется по формуле:
.
Условие параллельности двух прямых имеет вид: k1 = k2 или .
Условие перпендикулярности двух прямых имеет вид: или А1А2 + В1В2 = 0.
Нормальное уравнение прямой имеет вид:
x cosα + y sinα – p = 0,
где p – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, α – угол наклона перпендикуляра к положительному направлению оси Ох (рис. 6).
Рис. 6
Чтобы привести общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 к нормальному виду, нужно все его члены умножить на нормирующий множитель μ = , взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена С.
Расстояние от точки М(х0; у0) до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется по формуле:
.
Уравнения биссектрис углов между прямыми А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0 имеют вид:
.
Пример 4. Даны вершины треугольника АВС: А (–5; –7), В (7; 2), С (–6; 8). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол В; 4) уравнение медианы АЕ; 5) уравнение и длину высоты СD; 6) уравнение биссектрисы АК; 7) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ; 8) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD.
Решение.
1. Расстояние d между двумя точками А(х1; у1) и В(х2; у2) определяется по формуле:
.
Найдем длину стороны АВ как расстояние между двумя точками А(–7; –8) и В(8; –3):
.
2. Уравнение прямой, проходящей через точки А(х1; у1) и В(х2; y2), имеет вид:
.
Подставляя координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:
;
Преобразуем последнее уравнение:
;
3(х + 5) = 4(у + 7); 3х – 4у – 13 = 0 (AВ).
Для нахождения углового коэффициента kAB прямой (АВ) разрешим полученное уравнение относительно у:
4y = 3x – 13;
– уравнение прямой (АВ) с угловым коэффициентом,
откуда .
Аналогично подставляя координаты точек В и С, получим уравнение прямой (ВС):
; ;
6х – 42 = –13у + 26; 6x + 13y – 68 = 0 (BC).
Разрешим уравнение прямой (ВС) относительно у: .
Отсюда .
3. Тангенс угла j между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, определяется по формуле:
.
Внутренний угол В образован прямыми (АВ) и (ВС), причем это острый угол, на который надо повернуть прямую ВС в положительном направлении (против часовой стрелки) до ее совпадения с прямой (АВ). Поэтому подставим в формулу k1 = , k2 = :
.
ÐВ = arctg = arctg 1,575 » 57,59°.
4. Чтобы найти уравнение медианы (АЕ), определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС. Для этого применим формулы деления отрезка на две равные части:
.
Тогда .
Следовательно, точка Е имеет координаты: Е(0,5; 5).
Подставляя в уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты точек А и Е, находим уравнение медианы (АЕ):
;
24х – 11у + 43 = 0 (АЕ).
5. Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то прямая (АВ) перпендикулярна прямой (CD). Для нахождения углового коэффициента высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых:
.
Тогда .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(х0; у0) в заданном направлении (угловой коэффициент k известен), имеет вид:
y – у0 = k (x – x0).
Подставляя в последнее уравнение координаты точки С(–6; 8) и , получим уравнение высоты CD:
у – 8 = (х – (–6)), 3у – 24 = – 4х – 24, 4х + 3у = 0 (CD).
Расстояние от точки М(х0; у0) до прямой Аx + By+C = 0 определяется по формуле:
.
Длину высоты CD найдем как расстояние от точки С(–6; 8) до прямой (АВ): 3х – 4у – 13. Подставляя в формулу необходимые величины, найдем длину CD:
(ед.).
6. Уравнения биссектрис углов между прямыми Аx + By+C = 0 и
А1x + B1y+C1 = 0 определяются по формуле:
.
Уравнение биссектрисы АК найдем как одно из уравнений биссектрис углов между прямыми (АВ) и (АС).
Составим уравнение прямой (АС) как уравнение прямой, проходящей через две точки А (–5; –7) и С (–6; 8):
.
Преобразуем последнее уравнение:
;
15(х + 5) = – (у + 7); 15х + у + 82 = 0 (AС).
Подставляя коэффициенты из общих уравнений прямых (АВ) и (АС), получим уравнения биссектрис углов:
.
Преобразуем последнее уравнение:
; (3х – 4у – 13) = ± 5 (15х + у + 82);
3х – 4у – 13= ± (75х +5у + 410).
Рассмотрим два случая:
1) 3х – 4у – 13= 75х +5у + 410.
Тогда общее уравнение имеет вид:
(75 – 3)х + (5 + 4)у + 410 + 13= 0.
Определим знак углового коэффициента прямой :
.
Так как , то угол наклона прямой является тупым и, следовательно, данное уравнение не является уравнением биссектрисы (АК).
2) 3х – 4у – 13= – (75х +5у + 410).
Тогда общее уравнение имеет вид:
(75 + 3)х + (5 – 4)у + 410 – 13= 0.
Так как , то угол наклона прямой является острым и, следовательно, данное уравнение является уравнением биссектрисы (АК).
(75 + 3)х + (5 – 4)у + 410 – 13= 0 – уравнение биссектрисы (АК).
7. Так как искомая прямая l параллельна стороне АВ, то из условия параллельности двух прямых ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту прямой (АВ):
kl = kAB = .
Подставляя в уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении координаты точки Е и угловой коэффициент kl = , получим уравнение прямой l:
; 3х – 4у + 18,5 = 0.
8. Так как прямая (АВ) перпендикулярна прямой (CD), то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой (CD), лежит на прямой (АВ). Кроме того, точка D является серединой отрезка AM. Применим формулы деления отрезка на две равные части:
Точка D лежит на пересечении высоты CD и основания АВ. Для нахождения ее координат решим систему уравнений, составленную из уравнений прямых (АВ) и (CD):
Точка D имеет координаты (1,56; –2,08).
Найдем координаты искомой точкиM:
Точка M(8,12; 2,84) лежит на продолжении стороны АВ.
Треугольник АВС, высота CD, медиана АЕ, биссектриса АК, прямая l и точка М построены в системе координат Оху (рис.7).
Рис.7
Линии второго порядка
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равна 2а.
Необходимо, чтобы эта постоянная величина была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса обозначаются F1 и F2.
Каноническое (простейшее) уравнение эллипса имеет вид:
.
Эллипс, заданный каноническим уравнением, симметричен относительно осей координат, центр его симметрии находится в начале координат (рис. 9). Параметр а называют большой полуосью, параметр b – малой полуосью эллипса.
Пусть а > b, тогда фокусы F1 и F2 находятся на оси Оx на расстоянии от центра и имеют координаты F1(– c; 0) и F2 (c; 0).
Отношение = e < 1 называется эксцентриситетом эллипса.
Расстояния произвольной точки М(x; y) эллипса от его фокусов (фокальные радиус-векторы) определяются формулами:
r1 = a + ex; r2 = a – ex.
Прямые и называются директрисами эллипса. Каждая директриса обладает следующим свойством: если r – расстояние произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, d – расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса e.
Рис. 9
Если b > а, то фокусы находятся на оси Оy в точках F1(0; – c) и F2 (0; c); расстояния от начала координат до фокусов ; эксцентриситет e = ; фокальные радиус-векторы определяются соотношениями: r1 = b + ey, r2 = b – ey; уравнения директрис у = – и у = .
Векторная алгебра
Аналитическая геометрия в пространстве
ЛИТЕРАТУРА
Основная:
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – 6-е изд. – М.: Наука, 1986. – 576 с.
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для ВУЗов – 6-е изд. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.
3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – 12-е изд. – М.: Наука, 1975. – 272 с.
4. Высшая математика для экономистов: Учебник для ВУЗов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. – М., ЮНИТИ, 2002. – 471 с.
5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – 10-е изд. – М.: Наука, 1969. – 352 с.
6. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учебн. пособие для ВУЗов – 14-е изд. – М.: Наука, 1986. – 224 с.
7. Шипачёв В.С. Задачник по высшей математике: Учебн. пособие для ВУЗов – 3-е изд. – М.: Высш. шк., 2002. – 304 с.
Дополнительная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1, 2. – 7-е изд. – М.: Наука, 1966. – т.1 – 552 с., т.2 – 312 с.
2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. – 7-е изд. – М.: Наука, 1971. – 736 с.
3. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. – 13-е изд. – М.: Наука, 1966. –272 с.
4. Шипачёв В.С. Основы высшей математики: Учебн. пособие для ВУЗов – 5-е изд. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.
5. Соболь Б.В., Мишняков Н.Т., Поркшеян В.М. Практикум по высшей математике. – Ростов н/Д: Изд-во «Феникс», 2004. – 640 с.
Индивидуальные задания
к расчётно-графической работе
Задание 1
Решить систему уравнений методами: Крамера, обратной матрицы, Гаусса.
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14) 15) 16)
17) 18)
19) 20)
21) 22)
23) 24)
25) 26)
27) 28)
29) 30)
Задание 2
Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:
1) длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол В;
4) уравнение медианы АЕ;
5) уравнение и длину высоты СD;
6) уравнение биссектрисы АК;
7) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ;
8) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD.
1) А (–8; –3); В (0; –9); С (2; 5);
2) А (–6; –1); В (2; –7); С (4; 7);
3) А (–4; –6); В (4; –12); С (6; 2);
4) А (–2; –3); В (6; –9); С (8; 5);
5) А (0; 0); В (8; –6); С (10; 8);
6) А (–4; –3); В (4; –9); С (6; 5);
7) А (–5; –2); В (3; –8); С (5; 6);
8) А (–4; 0); В (4; –6); С (6; 8);
9) А (–7; 1); В (1; –5); С (3; 9);
10) А (–8; 1); В (0; –5); С (2; 9);
11) А (–9; 1); В (–1; –5); С (1; 9);
12) А (–4; 3); В (4; –3); С (6; 11);
13) А (–10; –1); В (–2; –7); С (0; 7);
14) А (–6; 2); В (2; –4); С (4; 10);
15) А (–7; 2); В (1; –4); С (3; 10);
16) А (–4; –1); В (4; –7); С (6; 7);
17) А (–2;–2); В (6;–8); С (8; 6);
18) А (–3; –1); В (5; –7); С (7; 7);
19) А (–2; –1); В (6; –7); С (8; 7);
20) А (–3; 0); В (5; –6); С (7; 8);
21) А (–3; 4); В (5; –2); С (7; 12);
22) А (–4; 2); В (4; –4); С (6; 10);
23) А (–5; 0); В (3; –6); С (5; 8);
24) А (–6; 3); В (2; –3); С (4; 11);
25) А (–3; –3); В (5; –9); С (7; 5);
26) А (–8; –1); В (0; –7); С (2; 7);
27) А (–8; 2); В (0; –4); С (2; 10);
28) А (–9; 2); В (–1; –4); С (1; 10);
29) А (–8; 5); В (0; –1); С (2; 13);
30) А (–6; 5); В (2; –1); С (4; 13).
Задание 3
Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояния от которых до данной точки А(х1; у1) и данной прямой х = а равно числу ε. Полученное уравнение привести к каноническому виду. Построить кривую.
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) ;
21) ; 22) ;
23) ; 24) ;
25) ; 26) ;
27) ; 28) ;
29) ; 30) .
Задание 4
Даны вершины тетраэдра: А (х1; у1; z1), В (х2; у2; z2), С (х3; у3; z3), D (х4; у4; z4). Найти:
1) объем тетраэдра АВСD;
2) площадь грани АВС;
3) длину высоты, опущенной на грань АВС;
4) внутренний угол А треугольника АВС.
1. А (2; –1; 2); В (1; 2; –1); С (3; 2; 1); D (2; 2; 2);
2. А (4; –2; 6); В (2; 8; 4); С (6; –2; –2); D (4; 1; 2);
3. А (2; –1; 4); В (5; 1; 5); С (3; –2; 6); D (6; –3; 9);
4. А (1; 2; 0); В (3; 0; –3); С (5; 2; 6); D (22; –4; 9);
5. А (1; –1; 2); В (5; –6; 2); С (1; 3; –1); D (–2; 22; 8);
6. А (2; –4; 1); В (4; –6; 2); С (4; –1; 7); D (4; –11; 27);
7. А (1; 2; –1); В (2; –1; 2); С (3; 2; 1); D (–3; –1; 4);
8. А (–2; 3; 1); В (2; 7; –1); С (0; 14; –9); D (2; 4; 3);
9. А (–2; –3; 5); В (–1; –5; 7); С (9; –1; 15); D (6; –5; 0);
10. А (4; –2; –2); В (12; 2; –1); С (6; –4; –1); D (1; –1; –2);
11. А (1; 0; 6); В (4; 5; –2); С (7; 3; 4); D (8; –2; –4);
12. А (–3; 4; 6); В (1; 0; 6); С (–5; 2; 7); D (11; –5; 0);
13. А (1; 2; 0); В (3; 2; 1); С (–2; 1; 2); D (5; –4; 0);
14. А (1; –2; 3); В (0; –1; 2); С (3; 4; 5); D (9; 0; –7);
15. А (2; –3; 1); В (–2; –11; 9); С (6; 0; 3); D (9; 6; –7);
16. А (1; 2; 3); В (–2; 4; 1); С (7; 6; 3); D (–2; 1; 4);
17. А (–4; –4; –2); В (–4; –12; 0); С (6; –6; –4); D (–1; –3; 7);
18. А (3; –1; 4); В (2; 4; 5); С (4; 4; 5); D (1; 3; –1);
19. А (–3; 4; –3); В (–1; 2; –6); С (1; 4; 3); D (8; –3; 9);
20. А (–1; –2; –3); В (–2; 1; –6); С (0; 1; –4); D (17; –1; 9);
21. А (4; –2; 1); В (5; –4; 3); С (15; 0; 11); D (0; 29; 7);
22. А (3; 4; –5); В (5; 2; –4); С (11; 8; –4); D (1; –6; 17);
23. А (–2; 2; –2); В (4; 5; –4); С (1; 7; –10); D (–1; 9; 6);
24. А (–5; 3; 2); В (–5; 7; –2); С (–4; 1; 0); D (–7; 7; –3);
25. А (–3; 2; –4); В (–3; 6; –7); С (1; –3; –4); D (6; –9; 2);
26. А (3; –2; 1); В (5; 9; –9); С (7; 2; –1); D (3; –1; 1);
27. А (–1; –1; 1); В (3; 2; 3); С (–5; –9; 9); D (11; 5; 6);
28. А (–7; 0; 5); В (–5; 6; 7); С (–8; 1; 4); D (–1; –2; 1);
29. А (3; –4; 1); В (8; –3; 2); С (8; –3; 0); D (–2; 13; –11);
30. А (2; –1; 5); В (4; 9; 16); С (0; 1; 6); D (6; 2; –3).
Задание 5
Даны координаты четырех точек А (х1; у1; z1), В (х2; у2; z2), С (х3; у3; z3), D (х4; у4; z4). Необходимо найти:
1) уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, С;
2) канонические уравнения прямой АВ;
3) уравнение плоскости G, проходящей через точку D перпендикулярно прямой АВ;
4) расстояние от точки D до плоскости Q.
1) А (2; 3; 4); В (6; 3; –1); С (1; 6; –1); D (2; 3; 7);
2) А (4; –3; 1); В (2; 6; –2); С (3; 2; 1); D (–1; 3; 6);
3) А (2; –1; 4); В (2; 4; 2); С (4; 5; 5); D (6; 3; –9);
4) А (1; 2; 0); В (–3; 4; –2); С (1; 6; 11); D (0; 4; 9);
5) А (–6; –4; 2); В (5; –2; –1); С (5; 6; –4); D (2; 8; 6);
6) А (5; 0; 2); В (–4; 2; 2); С (1; 6; –7); D (–1; 10; 4);
7) А (1; –4; –1); В (5; 3; –4); С (3; 2; 1); D (6; –7; 6);
8) А (–2; –3; –1); В (2; 3; –6); С (5; 5; –6); D (2; 3; 6);
9) А (4; 5; 1); В (5; –5; 7); С (5; –2; 1); D (3; 7; 0);
10) А (6; 2; –6); В (2; 2; –4); С (1; 4; –1); D (1; 2; 5);
11) А (5; –2; –4); В (1; 4; –6); С (3; 6; –5); D (1; 1; 4);
12) А (3; –4; 1); В (–6; 1; 1); С (–1; 4; 0); D (4; 3; –8);
13) А (6; –2; 3); В (–3; 3; 3); С (2; 6; 2); D (7; 5; –6);
14) А (1; –1; 0); В (–4; 1; 1); С (1; 6; –1); D (2; 4; 5);
15) А (–1; 2; 1); В (–6; 4; 2); С (–1; 9; 0); D (0; 6; 6);
16) А (1; 2; 3); В (–2; 4; 1); С (5; 6; –3); D (2; 1; –8);
17) А (–4; –4; –2); В (–4; 1; –3); С (5; 4; –4); D (–5; 3; 5);
18) А (–2; 0; 6); В (4; –4; 5); С (3; –4; 5); D (1; –3; –6);
19) А (3; –4; –5); В (1; –2; 7); С (3; 6; 1); D (–8; 3; 2);
20) А (–1; –1; 3); В (2; 3; –6); С (1; 1; 1); D (3; 7; 9);
21) А (8; 1; 1); В (1; 7; –1); С (7; 7; –2); D (4; 4; –7);
22) А (–3; 8; –2); В (1; 1; –1); С (0; 5; –3); D (1; –3; –8);
23) А (1; 1; 1); В (5; –3; 2); С (5; 5; 0); D (0; 0; 9);
24) А (–1; 3; 2); В (3; –1; 3); С (3; 7; 1); D (–2; 2; 10);
25) А (3; –4; 4); В (6; –2; 5); С (1; –3; 8); D (6; 2; 5);
26) А (–6; 5; –1); В (–6; –5; –1); С (6; 5; 1); D (1; 6; 5);
27) А (4; –2; –1); В (–1; –2; 0); С (1; –1; –5); D (4; 9; –3);
28) А (6; 6; –5); В (–5; –6; 3); С (–8; –1; 4); D (0; 0; –1);
29) А (4; –4; 6); В (0; –1; 5); С (5; 5; 7); D (1; 2; –5);
30) А (–1; 2; 3); В (–5; 3; 4); С (1; 4; 6); D (2; 8; –8).
Таблицы выбора номеров заданий
Для выполнения РГР
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
Группа
Номер по списку | Задание 1 | Задание 2 | Задание 3 | Задание 4 | Задание 5 |
– Конец работы –
Используемые теги: ная, Векторная, Алгебра0.053
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейная и векторная алгебра
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов