Матрицы. Порядок матрицы. Диагональная, треугольная и единичная матрица

Матрицы. Порядок матрицы. Диагональная, треугольная и единичная матрица.

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных — нулевые , иногда записывается как: Единичная матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является…

Матрицы. Операции над матрицами. Транспонирование матрицы. Умножение матриц.

Умножение матрицы на число

Свойства умножения матриц на число: 1. 1A = A;

Сложение матриц

Свойства сложения матриц: 1.коммутативность: A+B = B+A;

Умножение вектора на матрицу

для вектора-столбца v (получая новый вектор-столбец Av): для вектора-строки s (получая новый вектор-строку sA):

Транспонированная матрица

Такая матрица называется транспонированной матрицей для и обозначается так… Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица размера при этом…

Определители. Определители 2 и 3 порядков.

На дополнительном листе!!!

Вычисление определителей порядка выше 3.

Обратная матрица

Определение 4. Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, если , и невырожденной или неособенной матрицей, если . Утверждение. Если обратная матрица существует, то она единственна. Утверждение. Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и (1) где -…

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

В конце листа!!

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем) с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде

Ранг матрицы. Минор. Теорема Кронекера-Капелли.

Доказательство (условия совместности системы) [править]Необходимость Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией…

Элементарные преобразования над матрицами.

2) прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой ее строки (столбца), умноженной на произвольное число; 3) перестановку местами любых двух строк (столбцов). Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется…

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

  2)во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число… 3)в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Системы линейных уравнений. Совместность и несовместность систем линейных уравнений.

- неизвестные переменные, - коэффициенты (некоторые действительные или… Такую форму записи СЛАУ называют координатной.

Однородная система линейных уравнений.

Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями… Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут: