рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Метод Гауса з послідовним виключенням невідомих

Метод Гауса з послідовним виключенням невідомих - раздел Математика, Лекція № 2 ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ НА ЕОМ Метод Гауса З Послідовним Виключенням Невідомих (Базовий Метод)Засновано [4] ...

Метод Гауса з послідовним виключенням невідомих (базовий метод)засновано [4] на алгоритмі, в основі якого лежить послідовне виключення невідомих вектора з усіх рівнянь, починаючи з (і+1)–го, шляхом елементарних перетворень: перемноження обох частин рівняння на будь-яке число, крім нуля; додавання (віднімання) до обох частин одного рівняння відповідних частин другого рівняння, помножених на будь-яке число, крім нуля.

Суть алгоритмурозглянемо на прикладі системи, яка складається з трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими:

 

(2.3)

 

1) Перевіримо, щоб принаймні один із коефіцієнтів , , не дорівнював нулю. Якщо, наприклад, , тоді необхідно переставити рівняння так, щоб коефіцієнт при x1 у першому рівнянні не дорівнював нулю.

2) Обчислюється множник:

. (2.4)

3) Перше рівняння системи (2.3) множиться на і віднімається від другого рівняння системи, отриманої після перестановки рівнянь, якщо вона була необхідною. Результат обчислення має вигляд:

, (2.5)

але . (2.6)

Тоді виключається із другого рівняння.

Позначимо нові коефіцієнти:

 

(2.7)

 

Тоді друге рівняння системи (2.3) набуває вигляду:

 

. (2.8)

 

Далі необхідно звільнитися від коефіцієнта при в третьому рівнянні системи (2.3) за аналогічним алгоритмом

4) Обчислюється множник для третього рівняння:

. (2.9)

5) Перше рівняння системи (2.3) множиться на і віднімається від третього рівняння. Коефіцієнт при стає нулем, і третє рівняння набуває вигляду:

 

, (2.10)

де , (2.11)

, (2.12)

. (2.13)

 

Перетворена таким чином система рівнянь (2.3) набуває вигляду:

 

(2.14)

 

Ця система рівнянь еквівалентна початковій і має певні переваги, оскільки входить тільки до першого рівняння. Спробуємо тепер виключити з останнього рівняння. Якщо , а , тоді переставимо друге й третє рівняння так, щоб . Інакше система вироджена і має безліч розв’язків.

7) Обчислюємо множник . (2.15)

8) Друге рівняння системи (2.11) помножується на М3¢¢ і віднімається від 3‑го рівняння:

. (2.16)

При цьому коефіцієнт біля дорівнює нулю:

 

, (2.17)

, (2.18)

, (2.19)

Отримаємо . (2.20)

Замінивши в системі (2.14) третє рівняння на (2.20), отримаємо систему рівнянь виду:

(2.21)

Таку систему називають системою з трикутною матрицею коефіцієнтів, що еквівалентна СЛАР (2.3). Процес знаходження такої системи називається прямим ходом Гауса. Знайти розв’язок такої системи просто: із 3-го рівняння знайти , підставити результат у друге і знайти , підставити і в 1-е рівняння системи (2.21) і знайти за формулами:

, (2.22)

, (2.23)

. (2.24)

Процес знаходження вектора розв’язку системи (2.3) називають зворотнім ходом метода Гауса [4, 13, 24, 28].

На рисунку 2.2 показана схема алгоритму метода Гауса з послідовним виключенням для розв’язання системи із N рівнянь з N невідомими. Ця схема відповідає розглянутому алгоритму і може бути використана при розробці програми. Блок “Перестановка рівнянь так, щоб ” означає деякий алгоритм, який дає змогу не допустити помилки “ділення на 0”. Якщо прямувати до можливого зменшення помилок округлення, то можна використати алгоритм з вибиранням головного елементу.

Рисунок 2.2. – Схема алгоритму розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гауса.

 

Призначення індексів в схемі алгоритму (рисунку 2.2):

к номер рівняння, яке віднімається від інших, а також номер невідомого, яке виключається із залишених к-рівнянь;

i номер рівняння, із якого в даний момент виключається невідоме;

j номер стовпця.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Лекція № 2 ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ НА ЕОМ

На сайте allrefs.net читайте: Лекція № 2.

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод Гауса з послідовним виключенням невідомих

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ НА ЕОМ
Інженеру часто доводиться вирішувати алгебраїчні і трансцендентні рівняння і системи рівнянь, що можуть являти собою самостійну задачу (наприклад, аналіз рівноваги сил в жорсткій системі балок, або

Основні поняття та визначення
Системою лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) [4, 5,12] називають систему виду: (2.1)  

Класифікація методів розв’язання СЛАР на ЕОМ
Для розв’язання СЛАР на ЕОМ традиційно використовують [1-5, 8, 10, 11, 13, 24-28, 36, 37, 39] дві групи чисельних методів, що представлені на рисунку 2.1: ü точні (ме

Особливості методів Гауса
Найбільш відомим з точних методів розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (2.1) є методи Гауса, суть яких полягає в тому, що система рівнянь, яка розв’язується, зводиться до еквівалентної

Метод Гауса за схемою Халецького
Алгоритм метода включає також прямий і зворотній хід. Кінцевою метою прямого ходу є отримання СЛАР, яка еквівалентна заданій, з верхньою трикутною матрицею коефіцієнтів. Для цього матрицю коефіцієн

Метод Гауса з вибором головного елемента
Ідея цього методу виникла [4, 13, 24, 28] у зв’язку з тим, що коефіцієнти СЛАР є параметрами реальних інженерних систем та в більшості є наближеними значеннями, тому що отримані звичайно в результа

Метод Гауса з одиничними коефіцієнтами
В цьому методі зроблена спроба [1, 4, 12, 24, 28] зменшити недоліки перших двох методів пов’язаних з багаторазовим діленням одного наближеного числа на інше. Для цього перед введенням масштабного м

Метод Гауса-Жордана
Особливістю метода Гауса-Жордана [1, 4, 12] є перетворення системи (2.1) (прямий хід) до еквівалентної з одиничною матрицею коефіцієнтів виду:  

Питання та задачі до самостійної роботи
1. Яку систему називають системою лінійних алгебраїчних рівнянь? 2. Що називається розв'язком СЛАР? 3. Яка система називається сумісною і несумісною? 4. Яка система назив

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги