Реферат Курсовая Конспект
Линейная алгебра - раздел Математика, Министерство Образования И Науки Российской Фе...
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Брянский государственный технический университет |
УТВЕРЖДАЮ
Первый проректор по учебной работе
____________ А.П. Мысютин
« » ____________ 2013 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………4
Условия задач расчетно-графической работы…………….....4
Методические указания к выполнению задач расчётно-
графической работы № 1………………………………………19
Примерные варианты контрольных работ.…………………..34
Теоретические вопросы к экзамену……………………………36
Образец билета письменного экзамена (практическая часть).38
Список рекомендуемой литературы…………………………...39
ВВЕДЕНИЕ
Настоящие методические указания предназначены для студентов специальностей 080100 «Экономика» и 080500 «Бизнес-информатика». В методических указаниях приводятся условия задач расчетно-графической работы, методические рекомендации к решению задач расчетно-графической работы №1 и примеры решения наиболее сложных из них, примерные варианты двух контрольных работ, предусмотренных рабочими программами курса «Линейная алгебра», список экзаменационных вопросов, а также примерный вариант практической части экзаменационного билета.
Условия задач расчетно-графической работы
Задание 1
Дана матрица А. Найти обратную матрицу двумя способами:
1) используя алгебраические дополнения элементов матрицы А;
2) методом элементарных преобразований.
Сделать проверку.
Задание 2
Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами:
1) методом Гаусса; 2) по правилу Крамера; 3) матричным методом.
Задание 3
Найти общее решение системы
.
Задание 4
Даны векторы , , угол между векторами и равен .
Вычислить: 1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ; 2) острый угол между диагоналями параллелограмма; 3) площадь параллелограмма.
Значения коэффициентов l, m, n, k, f и модули векторов и даны ниже для каждого варианта.
Вариант | |||||||
Задание 5
Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4: A1(x1 ; y1 ; z1), A2(x2 ; y2 ; z2), A3(x3 ; y3 ; z3), A4(x4 ; y4 ; z4).
Требуется: 1) в декартовой прямоугольной системе координат построить пирамиду A1A2A3A4 ; 2) записать векторы , , в ортонормированном базисе и найти модули этих векторов; 3) найти острый угол между векторами и ; 4) найти площадь треугольника A1A2A3 ; 5) найти объем пирамиды A1A2A3A4 .
Вариант | ||||
(2; 3; 2) | (10; 7; 3) | (6; 6; 3) | (8; 9; 5) | |
(3; 5; 2) | (1; 7; 5) | (5; 6; 8) | (1; 6; 4) | |
(6; 1; 4) | (3;-3; 8) | (5;-5; 8) | (8; 3; 3) | |
(2; 5; 4) | (5; 3; 6) | (8; 3; 5) | (8; 2; 10) | |
(3; 4; 3) | (7;-4; 4) | (6; 0; 4) | (9; 10; 6) | |
(1; 2; 3) | (3; 4; 6) | (-3; 1; 6) | (3; 3; 5) | |
(3; 5; 1) | (0; 1; 5) | (1; 0; 5) | (7; 9;-1) | |
(5;-2; 4) | (7; 1; 6) | (7; 4; 5) | (8; 4; 10) | |
(1; 2; 1) | (9;-2; 2) | (-3; 5; 0) | (7; 8;-2) | |
(4; 1; 3) | (2; 3; 6) | (5;-3; 6) | (3; 3; 5) | |
(3;-1; 2) | (7; 2; 6) | (9; 0; 6) | (5; 1; 3) | |
(3; 5; 4) | (1; 8; 6) | (-1; 2; 6) | (9;-1; 1) | |
(1; 1; 2) | (-3; 9; 3) | (-2; 5; 3) | (7; 7;-1) | |
(1; 4; 3) | (-1; 6; 6) | (6;-4; 0) | (2; 2; 1) | |
(2; 4; 1) | (6; 7; 5) | (7; 6; 5) | (6; 8; 3) | |
(1; 2; 2) | (3; 5; 4) | (5;-1; 4) | (7; 8; 5) | |
(2;-2; 1) | (10; 2; 2) | (6; 1; 2) | (8; 4; 4) | |
(3; 4;-1) | (1; 6; 2) | (5; 5; 5) | (1; 5; 1) | |
(2; 5; 3) | (-1; 1; 7) | (1;-1; 7) | (4; 7; 2) | |
(1; 4; 2) | (4; 2; 4) | (7; 2; 3) | (7; 1; 8) | |
(3; 1; 4) | (7;-7; 5) | (6;-3; 5) | (9; 7; 7) | |
(2; 4; 3) | (4; 6; 6) | (-2; 3; 6) | (4; 5; 5) | |
(5;-2;-1) | (2;-6; 3) | (3;-7; 3) | (9; 2;-3) | |
(5; 2; 1) | (7; 5; 3) | (7; 8; 2) | (8; 8; 7) | |
(2;-1; 7) | (10;-5; 8) | (-2; 2; 6) | (8; 5; 4) | |
(4; 7; 8) | (2; 9; 11) | (5; 3; 11) | (3; 9; 10) | |
(2; 1; 3) | (6; 4; 7) | (8; 2; 7) | (4; 3; 4) | |
(1; 5; 2) | (-1; 8; 4) | (-3; 2; 4) | (7;-1;-1) | |
(6; 1; 4) | (2; 9; 5) | (3; 5; 5) | (12; 7; 1) | |
(6; 5; 1) | (4; 7; 4) | (11;-3;-2) | (7; 3;-1) |
Задача 6
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора заданного матрицей.
Задание 7
Решить графически систему линейных неравенств.
Задание 8
Даны координаты вершин треугольника ABC: A(x1 ; y1), B(x2 ; y2), C(x3 ; y3).
Требуется: 1) в декартовой прямоугольной системе координат построить треугольник ABC; 2) написать каноническое и общее уравнения прямой AB, найти её угловой коэффициент; 3) написать каноническое и общее уравнения прямой AС, найти её угловой коэффициент; 4) найти внутренний угол A в градусах; 5) написать общее уравнение высоты CD и найти её длину, не используя координаты точки D; 6) написать общее уравнение медианы CE; 7) найти координаты точки пересечения высот треугольника ABC. На чертеже построить высоту CD, медиану CE и указать точку пересечения высот треугольника.
Вариант | А | В | С |
(7; 4) | (1; 1) | (4; 5) | |
(–5; 4) | (1; 1) | (–2; 5) | |
(–5; –2) | (1; 1) | (–2; –3) | |
(7; –2) | (1; 1) | (4; –3) | |
(5; 4) | (–1; 1) | (2; 5) | |
(–7; 4) | (–1; 1) | (–4; 5) | |
(–7; –2) | (–1; 1) | (–4; –3) | |
(5; –2) | (–1; 1) | (2; –3) | |
(-8; -5) | (-2; –2) | (-5; -6) | |
(–5; 2) | (1; –1) | (–2; 3) | |
(–5; –4) | (1; –1) | (–2; –5) | |
(7; –4) | (1; –1) | (4; –5) | |
(5; 2) | (–1; –1) | (2; 3) | |
(–7; 2) | (–1; –1) | (–4; 3) | |
(–7; –4) | (–1; –1) | (–4; –5) | |
(5; –4) | (–1; –1) | (2; –5) | |
(8; 5) | (2; 2) | (5; 6) | |
(–4; 5) | (2; 2) | (–1; 6) | |
(–4; –1) | (2; 2) | (–1; –2) | |
(8; –1) | (2; 2) | (5; –2) | |
(4; 5) | (–2; 2) | (1; 6) | |
(–8; 5) | (–2; 2) | (–5; 6) | |
(–8; –1) | (–2; 2) | (–5; –2) | |
(4; –1) | (–2; 2) | (1; –2) | |
(8; 1) | (2; –2) | (5; 2) | |
(–4; 1) | (2; –2) | (–1; 2) | |
(–4; –5) | (2; –2) | (–1; –6) | |
(8; –5) | (2; –2) | (5; –6) | |
(4; 1) | (–2; –2) | (1; 2) | |
(–8; 1) | (–2; –2) | (–5; 2) |
Задание 9
Даны координаты точек: A1(x1 ; y1 ; z1), A2(x2 ; y2 ; z2), A3(x3 ; y3 ; z3), A4(x4 ; y4 ; z4).
Требуется: 1) написать канонические уравнения прямых A1A2 и A1A4 и найти угол между ними; 2) написать общее уравнение плоскости A1A2A3 ; 3) найти угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3 ; 4) написать канонические уравнения высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3 ; 5) найти расстояние от точки A4 до грани A1A2A3 .
Вариант | ||||
(2; 3; 2) | (10; 7; 3) | (6; 6; 3) | (8; 9; 5) | |
(3; 5; 2) | (1; 7; 5) | (5; 6; 8) | (1; 6; 4) | |
(6; 1; 4) | (3;-3; 8) | (5;-5; 8) | (8; 3; 3) | |
(2; 5; 4) | (5; 3; 6) | (8; 3; 5) | (8; 2; 10) | |
(3; 4; 3) | (7;-4; 4) | (6; 0; 4) | (9; 10; 6) | |
(1; 2; 3) | (3; 4; 6) | (-3; 1; 6) | (3; 3; 5) | |
(3; 5; 1) | (0; 1; 5) | (1; 0; 5) | (7; 9;-1) | |
(5;-2; 4) | (7; 1; 6) | (7; 4; 5) | (8; 4; 10) | |
(1; 2; 1) | (9;-2; 2) | (-3; 5; 0) | (7; 8;-2) | |
(4; 1; 3) | (2; 3; 6) | (5;-3; 6) | (3; 3; 5) | |
(3;-1; 2) | (7; 2; 6) | (9; 0; 6) | (5; 1; 3) | |
(3; 5; 4) | (1; 8; 6) | (-1; 2; 6) | (9;-1; 1) | |
(1; 1; 2) | (-3; 9; 3) | (-2; 5; 3) | (7; 7;-1) | |
(1; 4; 3) | (-1; 6; 6) | (6;-4; 0) | (2; 2; 1) | |
(2; 4; 1) | (6; 7; 5) | (7; 6; 5) | (6; 8; 3) | |
(1; 2; 2) | (3; 5; 4) | (5;-1; 4) | (7; 8; 5) | |
(2;-2; 1) | (10; 2; 2) | (6; 1; 2) | (8; 4; 4) | |
(3; 4;-1) | (1; 6; 2) | (5; 5; 5) | (1; 5; 1) | |
(2; 5; 3) | (-1; 1; 7) | (1;-1; 7) | (4; 7; 2) | |
(1; 4; 2) | (4; 2; 4) | (7; 2; 3) | (7; 1; 8) | |
(3; 1; 4) | (7;-7; 5) | (6;-3; 5) | (9; 7; 7) | |
(2; 4; 3) | (4; 6; 6) | (-2; 3; 6) | (4; 5; 5) | |
(5;-2;-1) | (2;-6; 3) | (3;-7; 3) | (9; 2;-3) | |
(5; 2; 1) | (7; 5; 3) | (7; 8; 2) | (8; 8; 7) | |
(2;-1; 7) | (10;-5; 8) | (-2; 2; 6) | (8; 5; 4) | |
(4; 7; 8) | (2; 9; 11) | (5; 3; 11) | (3; 9; 10) | |
(2; 1; 3) | (6; 4; 7) | (8; 2; 7) | (4; 3; 4) | |
(1; 5; 2) | (-1; 8; 4) | (-3; 2; 4) | (7;-1;-1) | |
(6; 1; 4) | (2; 9; 5) | (3; 5; 5) | (12; 7; 1) | |
(6; 5; 1) | (4; 7; 4) | (11;-3;-2) | (7; 3;-1) |
Задание 10
Решить графически неравенство.
Вариант | Уравнение линии |
Методические указания к выполнению
Расчетно-ргафической работы
Задача 1
Для нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений элементов матрицы А используется формула , где - алгебраическое дополнение к элементу , которое вычисляется по формуле , - минор элемента , получаемый вычеркивание i-ой строки и j-го столбца матрицы А. Например, для матрицы .
Проверка производится путем вычисления произведения А×А-1 или А-1×А, которые должны получиться равными единичной матрице Е.
Для нахождения матрицы вторым способом используются следующие элементарные преобразования над строками матрицы:
1) любые строки матрицы можно менять местами;
2) любую строку матрицы можно умножить на любое число отличное от нуля;
3) любую строку матрицы можно сложить с любой другой строкой, умноженной на любое число отличное от нуля.
Рассмотрим пример нахождения обратной матрицы методом элементарных преобразований.
Присоединим к матрице А единичную матрицу такого же размера.
.
Используя элементарные преобразования над строками матрицы на месте матрицы А получим единичную, тогда на месте единичной матрицы получится матрица А-1.
Получим нули в первом столбце:
~
Получим нули во втором столбце:
~
Получим нули в третьем столбце:
~
Получим единицы на главной диагонали:
~ .
Таким образом, .
Задача 2
Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса нужно:
1) составить расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести ее к ступенчатому виду;
2) записать систему уравнений, соответствующую преобразованной матрице;
3) решить полученную систему, начиная с третьего уравнения.
Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера находится по формулам: , где D - определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, Di – определитель полученный из определителя D путем замены i-го столбца столбцом свободных членов.
Для решения системы линейных уравнений матричным методом необходимо выписать матрицу А, составленную из коэффициентов при неизвестных, столбец свободных членов В и столбец неизвестных Х. Тогда система будет равносильна матричному уравнению АХ=В, решение которого находится по формуле Х=А-1×В.
Задача 3
Рассмотрим пример.
1. Запишем систему уравнений:
2. Определим ранг матрицы, выберем главные и свободные неизвестные
~ ~ ~ ~ .
rang A=3Þ3 главные неизвестные. Так как всех неизвестных 5, главных 3, то свободных неизвестных будет 5-3=2.
Проверим могут ли х1, х2, х3 быть главными неизвестными, для этого определитель, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, должен быть отличен от нуля.
Þ х1, х2, х3 - главные неизвестные. Значит х4 и х5 – свободные неизвестные.
3. Запишем систему уравнений, соответствующую преобразованной матрице.
4. Найдем частное решение системы . Для этого всем свободным неизвестным придадим значение 0 и вычислим соответствующие значения главных неизвестных.
Пусть х4 = х5=0, тогда
Следовательно,
5. Запишем соответствующую однородную систему и найдем ее общее решение . Для этого необходимо поочередно придать одной из свободных неизвестных значение 1, остальным свободным неизвестным значение 0 и вычислить соответствующие значения главных неизвестных.
Пусть х4=1, х5=0, тогда
Следовательно,
Пусть х4=0, х5=1, тогда
Следовательно,
6. Запишем общее решение неоднородной системы.
= +
=
Задача 4
Для того чтобы вычислить длины диагоналей параллелограмма и острый угол между ними необходимо выразить диагонали параллелограмма через векторы и . Для этого следует использовать операции над векторами.
При выполнении этого задания потребуется знание следующих формул:
– длина вектора,
– острый угол между векторами ,
Sпарал.= – площадь параллелограмма, построенного на векторах .
Задача 5
Для выполнения этого задания потребуются следующие формулы:
1) А(х1,у1,z1), В(х2,у2,z2), – координаты вектора ;
2) ; – длина вектора ;
3) , ;
- острый угол между векторами ;
4) SD= – площадь треугольника, построенного на векторах ;
5) Vпир-да= – объем пирамиды, построенной на векторах , ; .
Задача 6
Рассмотрим пример решения.
1. Найдем собственные значения матрицы А. Для этого составим и решим характеристическое уравнение |А-lЕ|=0.
А-lЕ= .
=0.
(6-l)
(6-l)((3-l)(6-l)-9)-(1(6-l)-0)=0
(6-l)(l2-6l-3l+18-9)-(6-l)=0
(6-l)(l2-9l+9-1)=0
(6-l)(l2-9l+8)=0
6-l=0 или l2-9l+8=0
l1=6 Д=81-4×8=49
l2=1; l3=8 – собственные значения матрицы А.
2. Найдем собственные векторы. Для этого составим и решим систему уравнений (А-lЕ) .
а) Для l1=6.
rangA = 2 Þ 2 главные неизвестные
Пусть х3 – свободная неизвестная, придадим ей значение 1, т.е. х3=1, тогда:
– собственный вектор для l1=6.
б) Для l2=1.
rangA = 2 Þ 2 главные неизвестные
Пусть х3 – свободная неизвестная, придадим ей значение 1, т.е. х3=1, тогда:
– собственный вектор для l2=1.
в) Для l3=8.
Þ rangA = 2 Þ 2 главные неизвестные.
Пусть х3 – свободная неизвестная, придадим ей значение 1, т.е. х3=1, тогда:
– собственный вектор для l3=8.
Задача 7.
Рассмотрим пример.
1. Построим прямые (рис.1):
1) ; 2) ; 3) .
х1 | х1 | х1 | -3 | |||||||
х2 | х2 | х2 |
2. Для каждой прямой определим полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого возьмем произвольную точку, не лежащую на прямой, и подставим ее координаты в неравенство. Если неравенство будет верным, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство будет неверным, то решением неравенства будет полуплоскость по другую сторону прямой.
х2 |
B |
x1 |
E |
A |
C |
D |
F |
Рис. 1 |
G |
1) Возьмем, например, точку О(0;0): 3×0+0£6 (верно), значит решением неравенства будет полуплоскость, содержащая эту точку.
2) Возьмем точку О(0;0) и подставим ее координаты во второе неравенство: 0+0³1 (неверно). Значит, решением неравенства является полуплоскость, не содержащая точку О.
3) Выберем, например, точку О(0;0) и подставим ее координаты в третье неравенство: -2×0+3×0£6 (верно). Значит, решением неравенства является полуплоскость, содержащая точку О.
3. Решением системы неравенств будет область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого из неравенств системы. В данном примере решением системы является область АВСDEFG. Так как по условию х1>0 и x2>0, то области АВС и EFG исключаются из решения. Таким образом, получаем область АСDEG, в которой координаты всех точек, кроме D известны. Найдем координаты точки D. Необходимо решить систему уравнений:
ее решением будет т. .
Ответ: АСDEG – область решений системы.
Задача 8. Рассмотрим пример.
Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол в радианах с точностью до ; 4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ; 5) уравнение медианы ; 6) точку пересечения высот треугольника . Сделать чертеж.
Решение: Сделаем чертеж:
y |
B |
x |
0 1 |
E |
A |
C |
D |
K |
M |
1. Расстояние между точками и находится по формуле .
В данном случае .
2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости и имеет вид .
Следовательно, для прямой имеем – общее уравнение прямой .
Аналогично, для прямой имеем – общее уравнение прямой .
Найдем угловые коэффициенты прямых и . Для этого перейдем от общего уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом .
Для прямой имеем , то есть – угловой коэффициент прямой . Для прямой получим , значит – угловой коэффициент прямой .
3. Учитывая, что угол острый, воспользуемся формулой .
Имеем , откуда
4. Для нахождения уравнения высоты воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом : .
В данном случае ; (координаты точки ). Так как прямые и перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением , откуда . Значит, уравнение высоты будет иметь вид: или .
Для нахождения длины высоты воспользуемся формулой расстояния от заданной точки до прямой : .
В данном случае , (координаты точки ); ; ; (коэффициенты из общего уравнения прямой ). Следовательно, .
5. Уравнение медианы составим, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Так как – медиана, то координаты точки найдем как координаты середины отрезка : ; , то есть . Тогда уравнение медианы будет иметь вид: или .
6. Для нахождения координат точки пересечения высот треугольника найдем уравнение высоты .
Уравнение высоты находим по формуле . По условию , . Так как прямые и перпендикулярны, то ; . Значит, уравнение высоты будет иметь вид или .
Составляем и решаем систему уравнений: Значит, .
Задача 9
Для нахождения канонических уравнений прямых А1А2 и А1А4 могут быть использованы формулы:
- уравнение прямой по двум точкам (х1,y1, z1) и (х2,y2,z2);
- каноническое уравнение прямой, где
(х0,y0, z0) – координаты точки, принадлежащей прямой, {m,n,p} – координаты направляющего вектора прямой. Для нахождения угла между прямыми следует воспользоваться формулой:
, где – направляющие векторы прямых.
Для составления уравнения плоскости можно пользоваться формулами:
, где , , - координаты точек, принадлежащих плоскости, или А( )+В( )+С( )=0, где - координаты точки, принадлежащей плоскости, {A,B,C} – координаты вектора нормали для плоскости.
Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:
,
где – направляющий вектор прямой, {A,B,C} – вектор нормали к плоскости.
Для составления уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3 следует воспользоваться условием перпендикулярности прямой и плоскости: || и каноническим уравнением прямой.
Для нахождения расстояния от точки А4 до грани А1А2А3 следует воспользоваться формулой:
где Ах+Ву+Сz+D=0 – уравнение плоскости; - координаты точки.
Задача 10
Решить графически неравенство 2х2-2ху+2у2+6х-6у-6£0.
Для того чтобы решить графически неравенство необходимо построить график функции, заданной в неравенстве, и определить область, которая соответствует неравенству.
Приведем уравнение кривой, заданной в неравенстве, к каноническому виду, а затем построим ее.
1. Определим угол поворота осей координат. Для этого используются формулы:
где А и С коэффициенты при х2 и у2 соответственно, 2В – коэффициент при ху.
В нашем случае А=2; 2В=-2, С=2, тогда Отсюда , следовательно, ).
2. Используя формулы преобразования координат, выразим старые переменные через новые.
x=x'cosa-y'sina=x'cos45°-y'sin45°= (x'-y');
x=x'sina+y'cosa- =x'sin45°+y'co 45°= (x'+y').
Полученные выражения для х и у подготовим в уравнение кривой.
2( (x'-y'))2-2 (x'-y')× (x'+y')+2( (x'-y'))2+6× (x'-y')- 6× (x'+y')-6=0.
После преобразования получаем x'2+3y'2-6 y'-6=0.
3. Выполним параллельный перенос системы координат. Для этого выделим полный квадрат, в данном случае, по переменной у, чтобы определить новый центр координат.
x'2+3(y'2-2 y'+ 2)- 3 2 -6=0,
x'2+3(y'- ) 2=12.
Сделаем замену переменных:
х"=x'
y"=y'- . Следовательно, О'(0; ) – новый центр координат.
Замечание 2
Если бы после подстановки выбранной точки в исходное неравенство получилось бы неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства являлась бы область, которой выбранная точка не принадлежит.
Примерные варианты контрольных работ
Контрольная работа №1
1. Решить матричное уравнение.
Ответ: .
2. Решить систему методом Гаусса.
Ответ: (-1;2;0).
3. Даны вершины пирамиды АВСD: А(3;3;8), В(6;7;-2), С(2;6;3), D(3;6;5).
а) Построить пирамиду АВСD;
б) Найти объем пирамиды АВСD;
в) Найти площадь грани АВС;
г) Найдите косинус угла между векторами и ;
д) Найдите проекцию вектора на вектор .
Ответ: б) 6; в) ; г) ; д) .
4. Найдите длину вектора , если , .
Ответ: .
Контрольная работа №2
1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Ответ: , .
2. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы 16х2-9у2=144, параллельно асимптоте этой гиперболы, образующей тупой угол с осью Ох.
Ответ: 4х+3у+20=0.
3. Найти угол между прямыми и .
Ответ: .
4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(3;1;-2) перпендикулярно прямой .
Ответ: 13х-11у-7z-42=0.
Теоретические ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1.Матрицы и их виды.
2.Операции над матрицами и их свойства.
3.Определители и их свойства. Способы вычисления определителей.
4.Обратная матрица: определение и вычисление с помощью алгебраических дополнений.
5.Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк.
6.Решение матричных уравнений.
7.Ранг матрицы. Различные способы определения и нахождения.
8.Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Теорема Кронекера - Капелли.
9.Методы решения определенных СЛАУ (матричный, Крамера, Гаусса).
10.Однородные и неоднородные СЛАУ размера m´n. Общее решение однородной системы.
11.Векторы: длина и направление, коллинеарность и компланарность. Равенство векторов.
12.Линейные операции над векторами и их свойства.
13.Линейная зависимость и независимость. Теоремы о линейной зависимости.
14.Геометрический смысл линейной зависимости на плоскости и в трехмерном пространстве.
15.Базис и система координат. Единственность разложения вектора по базису. Теоремы о координатах суммы векторов и произведении вектора на число.
16.Проекция вектора на ось. Теоремы о проекции вектора на ось.
17.Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.
18.Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.
19.Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.
20.Полярная система координат на плоскости.
21.Линейное векторное пространство.
22.Преобразование координат вектора при смене базиса.
23.Евклидовы, нормированные и метрические пространства. Неравенства Коши - Буняковского и треугольника.
24.Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при смене базиса.
25.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
26.Вид матрицы линейного оператора в базисе из собственных векторов.
27.Деление отрезка в заданном отношении.
28.Различные виды уравнений прямой на плоскости.
29.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой.
30.Геометрический смысл неравенств первого порядка.
31.Различные виды уравнений плоскости в пространстве.
32.Угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
33.Различные виды уравнений прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
34.Взаимное расположение прямых в пространстве.
35.Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
36.Эллипс.
37.Гипербола.
38.Парабола.
39.Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы.
40.Преобразование декартовых координат.
41.приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
42.Инварианты общего уравнения кривой второго порядка
43.Классификация кривых второго порядка.
44.Основные поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды.
45.Цилиндрические поверхности.
46.Конические поверхности.
47.Классификация поверхностей второго порядка.
Примерные варианты экзаменационных билетов (практическая часть)
Вариант 001
1. Решите матричное уравнение
2. Найдите длину вектора , если .
3. Даны точки А(4;2;5); В(0;7;1), С(0;2;7); Д(1;5;0).
а) найдите SDАВС;
б) найдите объем пирамиды АВСД.
4. Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного матрицей .
5. Напишите уравнение прямой, проходящей через правый фокус линии 16х2+25у2=400 и ее нижнюю вершину.
6. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(5;4;2) параллельно прямой
Вариант 002
1. Решите матричное уравнение
2. Найдите площадь треугольника, построенного на векторах , если .
3. Даны точки А(2;1;3); В(-2;6;7), С(-2;1;5); Д(-1;4;-2).
а) найдите SDАВС;
б) найдите объем пирамиды АВСД.
4. Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного матрицей .
5. Напишите уравнение прямой, проходящей через фокус линии у2=-4x перпендикулярно прямой 7х-3у+2=0.
6. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости х+4у-3z+7=0.
Ответы: Вариант 001: 1) ; 2) ; 3) а) SD= ; б) V=29/3; 4) l1=4; l2=5; ; 5) 4x-3y-12=0; 6) .
Вариант 002: 1) ; 2) S=7; 3) а) SD= ; б) V=77/3; 4) l1=1; l2=5; ; 5) 3x+7y+3=0; 6) 4x-7y-8z+25=0.
Список рекомендуемой литературы
Основная
1. Высшая математика для экономистов/Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман – под ред. Н.Ш. Кремера. 3-е изд. – М.: ЮНИТИ, 2010. – 478с.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике/Д.Т. Письменный. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2002. – Ч.1.-228с.
3. Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике. I курс/К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 576с.
4. Бугров, Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Т.1./Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Дрофа, 2003. – 288с.
5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1./П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш.шк., 1999. – 304с.
6. Ефимов, Н.В. Краткий курс аналитической геометрии/Н.В. Ефимов. – М.: Физматлит, 2002. – 240с.
Дополнительная
7. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия/В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М.: Физматлит, 2006. – 223с.
8. Ильин, В.А. Линейная алгебра/В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М.: Наука, 1999. – 284с.
9. Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии/Д.В. Клетеник. – М.: Профессия, 2006. – 200с.
– Конец работы –
Используемые теги: ная, Алгебра0.047
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейная алгебра
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов