Временное уравнение Шредингера - раздел Ядерная техника, В данной теме мы начнем изучение квантовых закономерностей явлений природы 1. Плоская Волна Де Бройля
...
1. Плоская волна де Бройля
соответствует равномерному свободному движению частицы в определенном направлении с определенным импульсом . Но движения могут быть самыми разнообразными, особенно при наличии силовых полей. Основная задача квантовой механики заключается в отыскании всевозможных волновых функций связанных с ними физических следствий в самых разнообразных условиях. Для этого необходимо отыскать соответствующее волновое уравнение. Оно было записано Шредингером в 1926 году для нерелятивистского случая, то есть в случае движений медленных по сравнению со скоростью света.
Уравнение Шредингера должно быть общим для всех движений. Поэтому уравнение не должно содержать параметров, выделяющих конкретное движение. В силу принципа суперпозиции оно должно быть линейным и однородным. Как и любое волновое уравнение, оно должно содержать частные производные по координатам и времени.
Поскольку волновая функция, описывающая состояние микрочастицы в момент t + dt определяется волновой функцией в момент t и ее первой производной
,
то для определения волновой функции в произвольный момент времени мы должны находить с помощью волнового уравнения. Поэтому волновое уравнение должно содержать только частную производную первого порядка по времени. Следует заметить, что вывести уравнение Шредингера невозможно (здесь ситуация такая же как с законами механики и электродинамики). Основные законы логически вывести нельзя. Доказательством их справедливости служит справедливость всей совокупности следствий из них вытекающих, которые допускают экспериментальную проверку.
Поэтому мы идем не логическим, а эвристическим путем (методом догадок). Поскольку плоские волны де Бройля должны быть одним из возможных решений волнового уравнения, то попробуем построить волновое уравнение сначала для свободных частиц.
2. Дифференцируя уравнение плоской волны по координате Х, запишем
.
Такие же соотношения можно записать для координат Y и Z. Сложив все три вторые производные, найдем
. (1)
Это дифференциальное уравнение содержит импульс - характеристику конкретного движения и, кроме того, не содержит .
Дифференцируя уравнение плоской волны по времени, также найдем
(2)
которое описывает также конкретный вид движения - движение в свободном пространстве с постоянной кинетической энергией
.
Учитывая это выражение, мы можем из (1) и (2) сконструировать уравнение
.
Это уравнение является линейным, однородным, дифференциальным уравнением второго порядка по координатам и первого порядка по времени. Оно не содержит никаких параметров конкретного движения.
Оно и является искомым уравнением Шредингерав отсутствие силовых полей.
3. Само по себе уравнение (24) не несет новой информации, так как для свободной микрочастицы известны волновые функции и значение энергии для любого состояния. Интерес представляет уравнение для микрочастицы, движущейся в силовом поле с потенциальной энергией . Классическое выражение для энергии частицы в силовом поле состоит из слагаемых кинетической и потенциальной энергий
.
Если физические величины, входящие в это выражение, заменить соответствующими операторами и подействовать на волновую функцию микрочастицы в силовом поле, то можно записать уравнение
. (3)
Это уравнение называется уравнением Шредингера для нестационарных состояний. Оно является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Вывести это уравнение строго логическим путем невозможно. Его справедливость доказывается совпадением следствий, из него вытекающих, с экспериментом. Поэтому мы принимаем его как закон природы, описывающий поведение микрочастиц при медленных движениях.
Уравнение Шредингера является линейным, поэтому удовлетворяет принципу суперпозиции.
3. Потенциальная энергия , входящая в уравнение Шредингера, учитывает воздействие на микрочастицу силовых полей. Это воздействие учитывается локально (в каждой точке, определяемой радиус-вектором ). Она имеет свое значение в каждой точке пространства и отражает распределение поля в пространстве. Эта потенциальная энергия не учитывает запаздывания воздействия силового поля на микрочастицу, т.е. предполагается, что воздействие мгновенно передается от силового центра к микрочастице, что справедливо только для медленных движений, когда за время распространения сигнала смещение частицы будет незначительным.
Функция координат, импульсов и времени, равная сумме кинетической энергии частицы Т и энергии взаимодействия частицы с внешними силовыми полями U, в классической механике называется функцией Гамильтона
.
В общем случае энергия взаимодействия зависит не только от координат, но и от времени. Если явной зависимости от времени у этой энергии нет, то она совпадает с потенциальной энергией.
В правой части уравнения (25) записан оператор, соответствующий функции Гамильтона, который называют оператором Гамильтона или гамильтонианом
.
С помощью гамильтониана уравнение Шредингера записывается в компактном виде
Введение... В конце ХIX в даже у крупных ученых сложилось представление что в физике уже... Решение первой из указанных проблем привело к созданию Эйнштейном теории относительности а решение второй проблемы...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Временное уравнение Шредингера
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Равновесное тепловое излучение
1. В проблеме теплового излучения большое значение имеет понятие равновесного излучения. Чтобы представить, что это такое, рассмотрим замкнутую полость с неподвижными и непрозрачным
Формула Релея-Джинса
Чтобы определить число нормальных мод с частотами в интервале от до
Понятие вероятности. Средние значения случайных величин
1. Большинство физических величин изменяется хаотически, т.е. являются случайными величинами. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная величина принимает ст
Понятие о квантах. Средняя энергия осциллятора. Фотоны
1. Формирование электромагнитного поля равновесного излучения является случайным процессом, так как случайны процессы испускания света телами. Поэтому энергия любого нормального кол
Модели атома Томсона и Резерфорда
1. Согласно классическим представлениям атом мог бы испускать монохроматическую волну в том случае, когда электрон в атоме совершает гармонические колебания и следовательно, удерживается около поло
Столкновение заряженных частиц
В опытах Резерфорда применялись очень тонкие металлические фольги с толщиной порядка . Это и позволяло не учит
Формула Резерфорда и ее экспериментальная проверка
Планетарная модель атома, предложенная Резерфордом, являлась гипотезой и требовала экспериментальной проверки. Для этого Резерфорду пришлось детально проанализировать процесс рассеяния
Спектры излучения атомов.
1. С появлением первых спектральных приборов началось изучение спектров излучения и поглощения различных тел. К началу ХХ в. Было известно, что раскаленные тела излучают сплошной спектр, в котором
Постулаты Бора
Неустойчивость планетарной модели атома по Резерфорду и закономерности атомных спектров, в частности их дискре
Опыты Франка и Герца
Идея Бора о стационарных состояниях атомов получила экспериментальное подтверждение в том же 1913г. в опытах Джеймса Франка и Густава Герца.
Опыты Франка и Герца начались до появления теор
Гипотеза де-Бройля. Волны де Бройля.
1. В 1923 году французский физик Луи де Бройль предположил, что корпускулярно-волновой двойственностью должны обладать не только фотоны, но и частицы вещества. Экспериментальное подтверждение этой
Особенности поведения микрочастиц
Многочисленные эксперименты показали, что электроны, атомы, молекулы и другие частицы обладают волновыми свойствами. При этом они сохраняют свои корпускулярные свойства. Объекты, обладающие корпуск
Соотношения неопределенностей
1. Отсутствие траектории у микрочастицы указывает на то, что описывать ее состояние столь же подробно как для материальной точки нельзя.
Действительно, задание координат и импульса материа
Дифракция микрочастиц на щели
Причиной существования квантовых неопределенностей и соотношений Гейзенберга являются волновые свойства микрочастиц.
Пусть движение электрона описывается плоской волной де Бройля. Электрон
Минимальная энергия и размеры атома
Принцип неопределенности является одним из основных законов квантовой физики. Из принципа неопределенности вытекает ряд важных следствий. В частности состояние покоя для микрочастицы, движущейся в
Стационарные состояния. Свойства волновых функций
Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состояния. Это такие состояния, в которых все наблюдаемые физические параметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция принципи
Потенциальный барьер. Решение стационарного уравнения
1. Рассмотрим рассеяние микрочастиц на преграде, испускаемых источником, удаленным на большое расстояние от нее. Силовое воздействие на микрочастицу определяется потенциальной энергией взаимодейств
Коэффициенты отражения и пропускания ступенчатого барьера
На опыте измеряются не амплитудные коэффициенты прошедшей и от-раженной волн, а коэффициенты отражения и пропускания для частиц, которые связаны с амплитудными коэффициентами вероятностными соотнош
Туннельный эффект
1. Теперь рассмотрим барьер конечной ширины (рис. 2). В этом случае в первой области будут существовать падаю
Система двух взаимодействующих частиц
При классическом рассмотрении движение системы из двух частиц сводится к движению двух квазичастиц, одна из которых с массой
Модель гармонического осциллятора
Зависимость энергии взаимодействия двух атомов от расстояния между ними показана на рис. . При некотором расстоянии
Момент импульса
1. Согласно классическому определению моментом импульса частицы относительно начала координат О называ
Проекции момента импульса
Выбрав за ось некоторое произвольное направление в пространстве, определим собственные функции и собственные
Координатах
1. Если силы, действующие на частицу в разных точках пространства, направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же точку, называемую центром, и зависят только от расстояния до него
Сложение угловых моментов
1. Понятие углового момента можно распространить и на системы частиц. Для этого рассмотрим простейшую изолированную систему из двух невзаимодействующих микрочастиц: 1 и 2.
Оператором углов
Атома водорода.
В 1921 году Штерном и Герлахом был поставлен прямой опыт по обнаружению квантования магнитного момента атомов. В вакуумной камере устанавливался электромагнит со специальной формой наконечников, чт
Принцип Паули
1. Сочетание волновых и корпускулярных свойств у микрочастиц приводит к отличиям в поведении не только одиночных микрочастиц, но и в поведении коллективов частиц. Эти отличия касаются только систем
Особенности периодической системы элементов
Располагая химические элементы в порядке возрастания атомного веса, Менделееву пришлось отступить от этого исходного принципа и переставить места некоторых элементов, придавая большее значение пери
Спин-орбитальное взаимодействие
Основное взаимодействие электрона с ядром атома есть электростатическое взаимодействие их зарядов. Но так как электрон движется вокруг ядра, то возникает дополнительное взаимодействие, обусловленно
Энергетические уровни и спектральные серии щелочных металлов
В атомах щелочных металлов электронная оболочка содержит один наружный (валентный) электрон, сравнительно слабо связанный с ядром атома. Переходы между энергетическими уровнями валентного электрона
Результирующий механический момент атома
В многоэлектронных атомах все орбитальные и спиновые моменты электронов складываются в единый угловой момент атома. Конечно результирующий момент от порядка слагаемых не зависит, но, тем не менее,
Магнитный момент атома
С механическим моментом связан магнитный момент. Для орбитального момента
,
Сложный эффект Зеемана
Рассмотрим сначала сложный эффект Зеемана, т.е расщепление спектральных линий в слабом магнитном поле.
При наложении слабого магнитного поля появляется дополнительная энергия взаимодействи
Простой эффект Зеемана
В сильных магнитных полях воздействие на атом становится сравнимым или больше спин-орбитального взаимодействия. В этом случае уже нельзя рассматривать поведение каждой компоненты мультиплета тонкой
Приближенная количественная теория атома гелия
Задача о движении двух электронов в поле ядра аналогична задаче о движении двух планет в гравитационном поле Солнца. В небесной механике разработаны достаточно точные приближенные методы расчета дв
. Но движения могут быть самыми разнообразными, особенно при наличии силовых полей. Основная задача квантовой механики заключается в отыскании всевозможных волновых функций связанных с ними физических следствий в самых разнообразных условиях. Для этого необходимо отыскать соответствующее волновое уравнение. Оно было записано Шредингером в 1926 году для нерелятивистского случая, то есть в случае движений медленных по сравнению со скоростью света.
,
с помощью волнового уравнения. Поэтому волновое уравнение должно содержать только частную производную первого порядка по времени. Следует заметить, что вывести уравнение Шредингера невозможно (здесь ситуация такая же как с законами механики и электродинамики). Основные законы логически вывести нельзя. Доказательством их справедливости служит справедливость всей совокупности следствий из них вытекающих, которые допускают экспериментальную проверку.
.
. (1)
- характеристику конкретного движения и, кроме того, не содержит 
(2)
.
.
. Классическое выражение для энергии частицы в силовом поле состоит из слагаемых кинетической и потенциальной энергий
.
. (3)
, входящая в уравнение Шредингера, учитывает воздействие на микрочастицу силовых полей. Это воздействие учитывается локально (в каждой точке, определяемой радиус-вектором 
). Она имеет свое значение в каждой точке пространства и отражает распределение поля в пространстве. Эта потенциальная энергия не учитывает запаздывания воздействия силового поля на микрочастицу, т.е. предполагается, что воздействие мгновенно передается от силового центра к микрочастице, что справедливо только для медленных движений, когда за время распространения сигнала смещение частицы будет незначительным.
.
.
. (26)
Новости и инфо для студентов