ЭКОНОМЕТРИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ИС и ПМ

 

ЭКОНОМЕТРИКА

«продвинутый уровень»

по направлению подготовки 080100.68 «Экономика»

(по специализированной магистерской программе)

Лекция 3

Временные ряды.

Анализ временных рядов.

Этапы построения прогноза по временным рядам.

.

Яретенко Н.И.

 

 

Мурманск

2013г.

 

Тема : Временные ряды.

Вопросы

1. Анализ временных рядов.

2. Этапы построения прогноза по временным рядам.

.

 

Анализ временных рядов

 

Основные понятия и определения

 

Информационной базой для анализа экономических процессов являютсядинамические и временные ряды.

 

Совокупность наблюдений некоторого явления (показателя), упорядоченная в зависимости от последовательности значений другого явления (признака), называют динамическим рядом.

 

Динамические ряды, у которых в качестве признака упорядочения используется время, называют временными.

 

В экономике и бизнесе временные ряды – это очень распространенный тип данных. Во временном ряде содержится информация об особенностях и закономерностях протекания процесса, а статистический анализ позволяет выявить и использовать выявленные закономерности для оценки характеристик процесса в будущем, т.е. для прогнозирования.

 

Временной ряд – это набор чисел, привязанный к последовательным, обычно равноотстоящим моментам времени.

Числа, составляющие временной ряд и получающиеся в результате наблюдения за ходом некоторого процесса, называются уровнями временного ряда или… Под длиной временного ряда понимают количество входящих в него уровней n.

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание постоянно и авто­корреляционная функция зависит только от длины временного интервала .

В зависимости от вида связи между этими компонентами может быть построена либо аддитивная модель:

Y(t) =f(t)+ S(t)+U(t)+(t); (1.1)

либо мультипликативная модель:

Y(t) =f(t)× S(t)× U(t)+ (t) (1.2)

временного ряда.

 

В процессе формирования значений временных рядов не всегда участвуют все четыре компоненты. Однако во всех случаях предполагается наличие случайной составляющей.

Основная цель статистического анализа временных рядов – изучение соотношения между закономерностью и случайностью в формировании значений уровней ряда, оценка количественной меры их влияния.

Закономерности, объясняющие динамику показателя в прошлом, используются для прогнозирования его значений в будущем, а учет случайности позволяет определить вероятность отклонения от закономерного развития и его возможную величину.

 

Требования к исходной информации

  Сопоставимостьдостигается в результате одинакового подхода к наблюдениям на… Уровни во временных рядах должны иметь одинаковые:

Этапы построения прогноза по временным рядам.

экстраполяционное[1] прогнозирование экономических процессов, представленных одномерными временными рядами, сводится к выполнению следующих основных…   1) предварительный анализ данных;

Предварительный анализ данных.

Для получения общего представления о динамике исследуемого пока­зателя целесообразно построить его график. При графическом отобра­жении динамики показателя во времени по оси абсцисс…  

Решение

   

Окажется нарушенным, то гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда отвергается с вероятностью ошибки a, такой, что 0,05 < a < 0,0975 и, тем самым, подтверждается наличие зависящей от времени неслучайной составляющей в разложении Y(t) =f(t)+ S(t)+U(t)+(t).

Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий.

Так же, как и в предыдущем критерии, исследуется последовательность знаков -…  

Пример 1.2. Проверка наличия тренда.

 

 

Определим наличие основной тенденции (тренда) по данным табл. 1.3 (рис. 1.2).

 

 

Таблица 1.3. Урожайность ячменя в одной из областей Среднего Поволжья, ц / га

 

Годы
я	14,1	9,3	19,4	19,7	5,4	24,2	13,8	24,5
Годы
Урожайность	14,7	16,6	5,6	16,2	25,3	11,9	18,5

 

Рис. 1.2. График урожайности ячменя

 

Решение

1. Делим исходный временной ряд на две примерно равные по числу уровней части: n₁=7, n₂ =8 (n₁+n₂=n =15).

2. Для каждой из этих частей вычисляем средние значения:

,

 

= 15,13; = 16,66.

и дисперсии:

 

,

 

= 42,15; = 41,22.

3. Проверяем гипотезу о равенстве (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F-критерия Фишера. Для вычисления F-критерия большую дисперсию делят на меньшую:

 

F_расч = = 42,15 / 41,22= 1,022,

 

F_кр = (0,05; 6,7) =3,86.

 

Так как F_расч < F_кр (0,05; 6,7), то c вероятностью 95% нет оснований отвергать нулевую гипотезу. По данным наблюдения дисперсии генеральных совокупностей равны =, исправленные выборочные дисперсии (Sи S) различаются незначимо (расхождение между ними величина случайная).

4. Тогда можно проверить основную гипотезу о равенстве средних значений с использованием t-критерия Стьюдента:

 

, (1.7)

подставляя числовые значения, получим:

,

t_{кр (0,05; 13)} = 2,16[2]

Так как |t_расч |< t_кр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве средних, расхождение между вычисленными средними незначимо. Отсюда вывод: тренд урожайности ячменя отсутствует.

 

Решение примера с помощью Пакета анализа Excel

 

1. Гипотезу о равенстве дисперсий проверим с помощью F-теста, который можно найти среди инструментов Анализа данных (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Вызов надстройки Excel Анализ данных

 

2. Вводим данные для выполнения F-теста, указывая интервал для первой и второй переменных (рис. 1.4). Результат выполнения теста приведен в табл. 1.4.

Анализируя результаты выполнения двухвыборочного F-теста для проверки гипотезы о равенстве дисперсий, приходим к выводу, что исправленные выборочные дисперсии (Sи S) различаются незначимо.

 

 

 

Рис. 1.4.Ввод данных для двухвыборочного F-теста

 

Таблица 1.4. Результат выполнения двухвыборочного F-теста для дисперсии

 

	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	15,129	16,663
Дисперсия	42,146	41,220
Наблюдения
df - число степеней свободы
F	1,022
P(F<=f) одностороннее	0,481
F критическое одностороннее	3,866

 

3. Выбираем инструмент анализа Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями (рис. 1.5). Вводим данные. Результат выполнения t-теста приведен в табл. 1.5., анализируя который убеждаемся, что тренда нет.

Рис. 1.5.Ввод данных для двухвыборочного t-теста с одинаковыми дисперсиями

 

Таблица 1.5. Результат выполнения t-теста.

 

Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	15,129	16,663
Дисперсия	42,146	41,220
Наблюдения
Объединенная дисперсия	41,647
Гипотетическая разность средних	0,000
df - число степеней свободы
t-статистика	-0,459
P(T≤t) одностороннее	0,327
t критическое одностороннее	1,771
P(T≤t) двухстороннее	0,654
t критическое двухстороннее	2,160

 

 

Наличие тенденции среднего уровня на графике становится более заметным, когда на нем отражены сглаженные значения исходных данных.

Сглаживание временных рядов.

Сглаживание временного ряда, т.е. замена фактических уровней расчетными значениями, имеющими меньшие колебания, чем исходные данные является простым методом выявления тенденции развития.

Соответствующее преобразование называется фильтрованием.

 

Сглаживание временных рядов проводится по следующим причинам:

 

• В ряде случаев при графическом изображении временного ряда тренд прослеживается недостаточно отчетливо. Поэтому ряд сглаживают, на график наносят сглаженные значения и, как правило, тенденция проявляется более четко.
• Некоторые методы анализа и прогнозирования требуют в качестве предварительного условия сглаживание временного ряда.
• Сглаживание временных рядов используется при устранении аномальных наблюдений.
• Методы сглаживания в настоящее время применяются для непосредственного прогнозирования экономических показателей.

 

Существующие методы сглаживания делят на две группы:

1. Методы первого типа (аналитические).

Сглаживание с использованием кривой, проведенной относительно фактических значений ряда так, чтобы эта кривая отображала тенденцию, присущую ряду и одновременно освобождала его от мелких незначительных колебаний. Такие кривые называют еще кривыми роста, и они используются главным образом для прогнозирования экономических показателей.

 

2. Методы механического сглаживания.

При использовании этих методов производится сглаживание каждого отдельного уровня ряда с использованием фактических значений соседних с ним уровней. Для сглаживания временных рядов часто используются методы простой и взвешенной скользящей средней, экспоненциального сглаживания.

 

Метод простой скользящей средней.

1. Согласно этому методу определяется количество наблюдений, входящих в интервал сглаживания. При этом используют правило: если необходимо сгладить мелкие, беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим и,…

Процедура продолжается до тех пор, пока в интервал сглаживания не войдет последнее наблюдение временного ряда.

Недостатком метода является невключение в процедуру сглаживания первых и последних p наблюдений временного ряда.   Метод простой скользящей средней возможно использовать, если графическое изображение ряда напоминает прямую линию.

Метод взвешенной скользящей средней.

Этот метод отличается от предыдущего тем, что сглаживание внутри интервала производится не по прямой, а по кривой более высокого порядка.

Это обусловлено тем, что суммирование членов ряда, входящих в интервал сглаживания, производится с определенными весами, рассчитанными по методу… Если сглаживание производится с помощью полинома (многочлена) второго или третьего порядка, то веса берутся…

Метод экспоненциального сглаживания.

Отсутствие сглаженных первых наблюдений не так важно по сравнению с последними наблюдениями, особенно если целью исследования является… Есть методы, позволяющие получить сглаженные значения последних уровней так…  

Чем больше значение параметра a, тем меньше сказывается влияние предшествующих уровней и соответственно меньшим оказывается сглаживающее воздействие экспоненциальной средней.

 

Задачу выбора параметра y₀, определяющего начальные условия, предлагается решать следующим образом: если есть данные о развитии процесса в прошлом, то их среднее значение можно принять в качестве y_0, если таких сведений нет, то в качестве y₀ используют исходное (первое) значение наблюдения временного ряда y₁.

Расчет показателей развития динамики экономических процессов.

 

Традиционными показателями, характеризующими развитие экономических процессов, были и остаются показатели роста и прироста.

Для характеристики динамики изменения уровней временного ряда используются следующие показатели, формулы расчета которых приведены в табл.1.6.

 

Табл1.6. Основные показатели динамики.

	Абсолютный прирост	Темп роста	Темп прироста
Цепной
Базисный
Средний	САП =

 

Показатель среднего абсолютного прироста используется для построения простейших так называемых наивных прогнозов.

  Этот способ является очень привлекательным для многих экономис­тов и практических работников статистических органов…

Для характеристики динамики изменения экономических показателей часто используется понятие автокорреляции, которая характеризует не только взаимозависимость уровней одного и того же ряда, относящихся к разным моментам наблюдений, но и степень устойчивости развития процесса во времени, величину оптимального периода прогнозирования и т.п.

Степень тесноты статистической связи между уровнями временного ряда, сдвинутыми на t единиц времени определяется величиной коэффициента корреляции , так как измеряет тесноту связи между уровнями одного и того же временного ряда, поэтому его принято называть коэффициентом автокорреляции.

При этом длину временного смещения называют обычно лагом (t).

 

Коэффициент автокорреляции вычисляют по формуле

 

(1.12)

 

Порядок коэффициентов автокорреляции определяет временной лаг: первого порядка (при t= 1), второго порядка (при t= 2) и т. д.

  Значения автокорреляционной функции могут колебаться от -1 до +1, но из…  

На практике, как правило, при вычислении автокорреляции используется формула (1.13).

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы поз­воляет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, т.е. при помощи анализа…   Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреля­ции первого порядка, исследуемый ряд содержит только…

Пример 1.3. Анализ временного ряда валового внутреннего продукта

 

Валовой внутренний продукт (ВВП) – представляет собой на стадии производства сумму добавленных стоимостей отраслей экономики, а на стадии использования – стоимость товаров и услуг, предназначенных для конечного потребления, накопления и экспорта.

 

В качестве исходной информации используются данные: номинальный объем валового внутреннего продукта, млрд. руб. (с 1998 г млн. руб.) – квартальные данные с 1994:1 по 2003:1 (Табл. 1.7). График этого ряда приведен на рис.1.6.

 

 

Рис.1.6.

 

Из него видно, что данные обладают повышающим трендом.

Таким образом, уже визуальный анализ позволяет сделать вывод о нестационарности исходного временного ряда.

Проверим данное предположение, вычислим коэффициенты автокорреляции (табл. 1.8) и построим график автокорреляционной функции временного ряда ВВП (коррелограмму) (см. Рис. 1.7).

 

Табл. 1.7. ВВП[3]

Дата	4кв.1994	1кв.1995	2кв.1995	3кв.1995	4кв.1995	1кв.1996	2кв.1996	3кв.1996	4кв.1996	1кв.1997
ВВП	225.00	235.00	325.00	421.00	448.00	425.00	469.00	549.00	565.00	513.00
№
Дата	2кв.1997	3кв.1997	4кв.1997	1кв.1998	2кв.1998	3кв.1998	4кв.1998	1кв.1999	2кв.1999	3кв.1999
ВВП	555.00	634.00	641.00	551.00	602.00	676.00	801.00	901.00	1102.00	1373.00
№
Дата	4кв.1999	1кв.2000	2кв.2000	3кв.2000	4кв.2000	1кв.2001	2кв.2001	3кв.2001	4кв.2001	1кв.2002
ВВП.	1447.00	1527.00	1697.00	2038.00	2044.00	1922.00	2120.00	2536.00	2461.00	2268.00
№
Дата	2кв.2002	3кв.2002	4кв.2002	1кв.2003
ВВП	2523.00	3074.00	2998.00	2893.10
№

 

Табл. 1.8.

Автокорреляционная функция
Лаг	Коэффициенты автокорреляции.
	0.914
	0.811
	0.717
	0.651
	0.576
	0.480
	0.387
	0.315

 

 

 

Рис1.7. Коррелограмма.

 

Коррелограмма автокорреляционной функции в случае стационарного временного ряда должна быстро убывать с ростом t после нескольких первых значений.

 

Рис. 1.7 показывает, что исследуемый ряд не является стационарным. Временной ряд валового внутреннего продукта содержит трендовую компоненту.

 

Построение моделей временных рядов.

 

Аналитические методы выделения (оценки) неслучайной составляющей временного ряда.

  Соответственно различают -задачи анализа и модели­рования тенденций, взаимосвязи между последовательными уровнями ря­да;

Модели кривых роста

  Аналитические методы выделения (оценки) неслучайной составляющей временного…  

Оценка качества построенных моделей.

 

Модель считается хорошей со статистической точки зрения, если она адекватна и достаточно точна.

Проверкаадекватностимодели реальному явлению является важным этапом прогнозирования социально - экономических процессов.

 

Для этого исследуют ряд остатков , т.е. отклонения расчетных значений от фактических данных.

 

Для оценки адекватности построенных моделей исследуются свойства остаточной компоненты, т.е. расхождения уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений.

 

Наиболее важными свойствами остаточной компоненты являются независимость уровней ряда остатков, их случайность и соответствие нормальному закону распределения.

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы .

С этой целью строится t-статистика: , (1.22)  

На уровне значимости гипотеза отклоняется, если , где – критерий распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1 –) и степенями свободы .

Проверка условия случайности возникновения отдельных отклонений от тренда.

 

Для проверки случайности уровней ряда могут быть использованы критерий серий и критерий поворотных точек.

Критерий “восходящих” и “нисходящих” серий был описан ранее (см. Предварительный анализ данных)

 

Критерий «пиков», или критерий поворотных точек.

Если остатки случайны, то поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения. Если их больше, то возмущения быстро колеблются и это не может быть объяснено… Если же их меньше, то последовательные значения случайного компонента положительно коррелированны.

Если неравенство не соблюдается, то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту) и, стало быть, модель не является адекватной.

Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях от модели роста проверяют с помощью критерия Дарбина – Уотсона.

  Наиболее существенными свойствами ряда отклонений являются их симметричность…  

Среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики эксцесса..

Если одновременно выполняются неравенства

То гипотеза о нормальном характере распределения случайного компонента не отвергается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств:

То гипотеза о нормальном характере распределения отвергается

В случае попадания коэффициентов асимметрии и эксцесса в зону неопределенности… (1.24)

Если расчетное значение RS попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. ( Для n = 10 и 5%-ного уровня значимости этот интервал равен 2,7 - 3,7). В этом случае допустимо строить доверительный интервал прогноза.

Если все пункты проверки дают положительный результат, то выбранная трендовая модель является адекватной реальному ряду экономической динамики, и, следовательно, ее можно использовать для построения прогнозных оценок. В противном случае – модель надо улучшать.

Оценка точности модели

В статистическом анализе известно большое число характеристик точности. Наиболее часто в практической работе, кроме среднеквадратического отклонения, используются:

Максимальная по абсолютной величине ошибка

E_max = max| |;

Относительная максимальная ошибка

Е_отн = Е_max / Y_ср *100%

Средняя по модулю ошибка

|Е_ср| = (e(1) + ... + e(n))/n

Средняя относительная по модулю ошибка

  Эти показатели дают представление об абсолютной величине ошибки модели и о…  

Лучшей по точности считается та модель, у которой все перечисленные характеристики имеют меньшую величину.

 

Однако эти показатели по-разному отражают степень точности модели и потому нередко дают противоречивые выводы.

Для однозначного выбора лучшей модели исследователь должен воспользоваться либо одним основным показателем, либо обобщенным критерием.

 

Построение точечных и интервальных прогнозов.

 

Идея социально-экономического прогнозирования базируется на предположении, что закономерность развития, действовавшая в прошлом (внутри ряда экономической динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем.

 

В этом смысле прогноз основан наэкстраполяции.

 

Экстраполяция, проводимая в будущее, называетсяперспективной, а в прошлое – ретроспективной.

 

Прогнозирование методом экстраполяции базируется на следующих предположениях:

 

а) развитие исследуемого явления в целом описывается плавной кривой;

 

б) общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не указывает на серьезные изменения в будущем;

 

в) учет случайности позволяет оценить вероятность отклонения от закономерного развития.

Поэтому надежность и точность прогноза зависят от того, насколько близкими к действительности окажутся эти предположения и насколько точно удалось охарактеризовать выявленную в прошлом закономерность.

 

На основе построенной модели рассчитываются точечные и интервальные

Прогнозы.

Точечный прогноз на основе временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т.е.…   Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых,…

Пример 1.5

Финансовый директор АО «Веста» рассматривает целесообразность ежемесячного финансирования инвестиционного проекта со следующими объемами нетто-платежей, тыс. руб.:

45 40 43 48 42 47 51 55 50 57 60 62.

Требуется определить:

1) Линейную модель зависимости объемов платежей от сроков (времени).

2) Оценить адекватность и точность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических значений следует использовать уровни d₁ = 1,08 и d₂ = 1,36) и по первому коэффициенту автокорреляции, критический уровень которого r(1) = 0,36;
• нормальности распределения остаточной компоненты по RS-критерию с критическими уровнями 2,7 – 3,7;
• для оценки точности модели используйте среднеквадратическое отклонение и среднюю по модулю относительную ошибку;

3) Определить размеры платежей на 3 последующих месяца (построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности
Р= 90% используйте коэффициент = 1,812) отобразить на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования). Оценить целесообразность финансирования этого проекта, если в следующем квартале на эти цели фирма может выделить только 120 тыс.руб.

 

 

Решение

 

1) оценка параметров модели.

 

Оценка параметров модели с помощью надстройки EXCEL Анализ данных.

Построим линейную модель регрессии Y от t. Для проведения регрессионного анализа выполните следующие действия:

· Выберите команду Сервис Þ Анализ данных.

· В диалоговом окне Анализ данных выберите инструмент Регрессия, а затем щелкните на кнопке ОК.

· В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y введите адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х введите адрес диапазона, который содержат значения независимой переменной t Если выделены и заголовки столбцов, то установить флажок Метки в первой строке.

· Выберите параметры вывода. В данном примере Новая рабочая книга.

· В поле График подбора поставьте флажок.

· В поле Остатки поставьте необходимые флажки и нажмите кнопку ОК.

 

Результат регрессионного анализа содержится в нижеприведенных таблицах (табл. 1.13 и 1.14)

Таблица 1.13

 

Переменная	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	a0	38,227	1,955	19,554
t	a1	1,811	0,266	6,818

 

Таблица 1.14. ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
	40,038	4,962
	41,850	-1,850
	43,661	-0,661
	45,472	2,528
	47,283	-5,283
	49,094	-2,094
	50,906	0,094
	52,717	2,283
	54,528	-4,528
	56,339	0,661
	58,150	1,850
	59,962	2,038

 

Во втором столбце табл. 1.13 содержатся коэффициенты уравнения регрессии a₀, a₁, в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

 

Уравнение регрессии зависимости объемов платежей от сроков (времени) имеет вид:

.

Оценка параметров модели по формуле (3.5) «вручную».

  Табл. 1.15 № … При вычислении «вручную» по формуле (1.4) получаем те же результаты:

Литература

 

1. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И.Елисеевой. - 2-е изд.; перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 576с.

2. Практикум по эконометрике: Учебное пособие / Под ред. Елисеевой И.И. - М.: Финансы и статистика, 2001,2002,2003,2004. - 192с

3. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.

4. Орлов А.И. Эконометрика:Учеб. пособие для вузов – М.: «Экзамен», 2002.

 

 

[1] Экстраполяция - это распространение выявленных при анализе рядов динамики закономерностей развития изучаемого объекта на будущее (при предположении, что выявленная закономерность, выступающая в качестве базы прогнозирования, сохраняется и в дальнейшем).

 

[2] табличное значение t_кр можно получить с помощью функции EXCEL СТЬЮДРАСПОБР.

[3] В фактически действующих ценах соответствующих лет.
Источник - "Краткосрочные экономические показатели РФ". Госкомстат, Москва.

 

[4] Значение можно получить с помощью функции Excel СТЬЮДРАСПОБР.