Математика и современное искусство

В двадцатом веке произошли множество научных открытий и взрыв технологического развития физики, биологии и гуманитарных наук. В эпоху Просвещения считалось, что накопленные знания обеспечат нам неограниченную власть над природой и освободят от власти материального мира. Реакция искусства на эти события не всегда была позитивной, о чем свидетельствует отказ Уильяма Блейка от ньютоновского представления о Вселенной, как о часовом механизме. В начале двадцатого века наш взгляд на Вселенную радикально изменился – теория относительности и квантовая механика вернули Вселенной ее тайну и магию. Однако, поскольку во время двух мировых войн научные и политические события столкнулись в непримиримом конфликте, было много серьезных оснований для того, чтобы по‑новому оценить наше место во Вселенной. Хочется надеяться, что в будущем наша мудрость будет развиваться пропорционально нашим знаниям.

В других главах я уже рассматривал роль математики в этих событиях. Здесь я сконцентрируюсь на влиянии математики, порой тесно сплетающейся с новейшей физикой, на культуру и искусство. Искусство нередко становится самым общепринятым выражением философских изменений и личных реакций художников на изменяющуюся технологическую среду. Конечно, будет преувеличением думать, что лишь математика оказывает влияние на различные культурные движения, не следует даже говорить, что она оказывает на них наиболее заметное влияние, но интересно рассмотреть те области, в которых математика играла уникальную и важную роль. Само использование математических терминов в артистической среде наглядно продемонстрировало, что художники впитали язык и идеи математики и преобразовали их в реалии мира искусства.

Во многих новых художественных движениях, возникавших в течение первых двух десятилетий двадцатого века, использовались язык и идеи новых версий геометрии, разработанных математиками. Живопись и скульптура по самой своей природе – художественное выражение соответственно двухмерного и трехмерного пространств. Но и живопись, и скульптура – это лишь ограниченное представление о мире и человеческом существовании. Как новые геометрии помогли по‑новому увидеть окружающее пространство?

В эпоху итальянского Ренессанса математический расчет перспективы позволил более реалистично отобразить трехмерный мир на двухмерной поверхности. Перспектива расширила язык живописи, и художники быстро освоили новые правила. Позже они сознательно нарушили эти правила ради визуального и эстетического эффекта. В двадцатом веке концепции новых геометрий, вроде неевклидовой геометрии и многомерного пространства, и в особенности понятие четвертого измерения, легли в основу кубизма, футуризма и сюрреализма. В начале века новые геометрии оказывали влияние на отдельных художников в большей степени, чем на художественный стиль в целом. К концу 1920‑х годов получила распространение концепция теории относительности Эйнштейна о четвертом временном измерении, но к тому времени уже было проведено множество исследований пространственного четвертого измерения. В середине девятнадцатого века, приблизительно в 1830 году, в результате независимого открытия Лобачевским и Бойаи неевклидовой геометрии, произошла математическая революция (Глава 16). В 1854 году Бернхард Риман издал свой труд «О гипотезах, которые лежат в основе геометрии», подготовивший почву для математического исследования многомерных пространств и физических экспериментов, нацеленных на изучение истинной геометрии пространства.

Евклидова геометрия была теперь всего лишь одной из многих возможных конфигураций. Фактическая геометрия пространства была и продолжает быть предметом исследований математиков и физиков, но одновременно с ними художники начали исследовать геометрию восприятия и изображения. Если мы посмотрим на расширение идеи трех измерений пространства на четвертое, мы сразу же натолкнемся на проблему отображения. В книге Эдвина Эбботта «Флатландия» (1844) описана классическая аналогия того, как будут воспринимать двухмерные существа, живущие в выдуманном им плоскостном двухмерном мире, случайно попавший к ним трехмерный объект. Это представление было проиллюстрировано Клодом Брагдоном во многих книгах, включая «Человек‑квадрат: притча о пространстве более высокого порядка» (1912). Смысл этого представления заключался в том, чтобы составить интуитивное представление о целом объекте при помощи последовательного выполнения ряда срезов, или поперечных сечений, проходящих через объект. Таким образом, чтобы живопись могла выполнить свое предназначение как средство выражения и отобразить весь объект, не важно трехмерный или четырехмерный, нужно было выполнить последовательность сечений, проходящих через объект, или сделать множество изображений объекта с различных ракурсов. Кубисты именно так и представляли себе предмет их живописи.

Перспектива стала считаться ограничением и была отброшена, поскольку сужала представление об объектах. Различие между восприятием объектов и самими этими объектами, о котором говорил философ Иммануил Кант, легло в основу многогранных форм кубизма. Возникло множество формулировок четвертого измерения, выходящих за пределы строго математического и пространственного определения: для некоторых людей это было платоновское царство идеального, мистики и иррациональности. Короче говоря, четвертое измерение освободило художника, позволив ему исследовать действительность, лежащую за рамками трехмерной перспективы. Эта свобода была подхвачена не только кубистами, но и итальянскими футуристами. Их интеллектуальный манифест 1909 года был отчасти политическим, отчасти художественным. Они провозглашали современность, индустриализм и технологичность. Художники типа Умберто Боччони, Джино Северини и Джакомо Балья выражали в своем творчестве динамизм четвертого измерения.

Давайте себе представим любое трехмерное тело, например африканского льва, в промежуток времени между любыми двумя моментами его существования. Между львом L0, или львом в момент времени t=0, львом L1, или финальным львом, расположено бесконечное число африканских львов самых разных видов и форм. Теперь, если мы рассмотрим множество, сформированное всеми этими точечными львами, существовавшими во все мгновения и во всех положениях в пространстве, и затем изучим развертывающуюся поверхность, то мы получим огибающего суперльва, наделенного чрезвычайно тонко нюансированными морфологическими особенностями. Именно такие поверхности мы называем «литохрониками».

Оскар Домингес.

Статья «Окаменение времени» (1942)

Вероятно, самым влиятельным математиком в мире официоза Франции в то время был Анри Пуанкаре, уважаемый интеллектуал, статьи которого выходили далеко за пределы математики, затрагивая вопросы политики, образования и этики. В 1906 году он стал президентом Академии наук, и его популярные работы вывели физику и математику на общественную сцену. Его философия относительности знания и сосредоточенность на творческой стороне математической деятельности, включая роль подсознательной инкубации трудных проблем, оказали огромное влияние на научную мысль начала двадцатого столетия. Возможно, в кубистских кругах не меньшее влияние имел малоизвестный математик Морис Принсе, специалист по страховой математике и живописец‑любитель, который исследовал математику неевклидовой геометрии совместно с художниками Жаном Метцингером и Хуаном Грисом.

В 1905 Альберт Эйнштейн, в то время все еще скромный патентный чиновник, впервые написал о специальной теории относительности. В 1916 году, став профессором, он издал свою общую теорию. К концу 1920‑х годов четвертое пространственное измерение было почти полностью заменено идеей относительно четвертого темпорального, или временного, измерения. Время, а следовательно, и движение полностью завладело умами некоторых художников, таких, как Марсель Дюшан и Умберто Боччони с его скульптурой «Уникальные формы непрерывности в пространстве» (1913), а также Франтишека Купки, и породило абстрактное искусство Казимира Малевича.

Кубизм был основан Пабло Пикассо и Жоржем Браком. Картина Пикассо «Авиньонские девицы» (1907) была первой кубистской картиной. Наиболее плодотворный период кубизма закончился в 1922 году, поскольку его последователи к тому времени отошли от ранее единого стиля. Хотя кубизм считался последовательным течением в искусстве, в основной философии и практике всегда существовали некоторые различия. Пикассо, кажется, находился в некоторой степени под влиянием математических идей, заявляя, что на него сильно повлияли смещающиеся перспективы Сезанна и строение африканского искусства и скульптуры. Брака также очень интересовали геометрические представления, ведь именно он придумал термин «кубизм». Конечно, можно проследить и непрекращающийся интерес к более традиционным геометрическим представлениям перспективы и структуры пространства. В 1912 году в Париже происходила выставка, оказавшая значительное влияние на развитие искусства. Она называлась «Золотое сечение» – ссылка на классическую пропорцию, которую часто можно увидеть в архитектуре и в искусстве. В то же самое время художники вроде Гриса и Жака Виллона приблизились к чисто абстрактной и геометрической форме кубизма, лишенного любых предметно‑изобразительных свойств.

Оценить влияние на искусство начала двадцатого столетия неевклидовой геометрии намного труднее, чем воздействия идеи четвертого измерения. Проблема может корениться в сложности отображения неевклидовых пространств. Итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835–1900) отобразил геометрию Лобачевского в виде физической модели псевдосферы. Простого знания о существовании неевклидовой геометрии было достаточно, чтобы дать волю артистическому воображению. Возможно, ее формальный математический характер привел к тому, что она оказалась менее плодотворной, чем артистическая свобода, предложенная четвертым измерением. Живописцы вроде Дюшана были очень влиятельными, но они оставались в меньшинстве со своим предложением, чтобы художники изучали математику и другие точные науки. Однако анализ неевклидовой геометрии оказал влияние на основателя дадаизма – Тристана Тцара – и сюрреалистов.

В 1936 году живописец Шарль Сирато издал «Манифест дименсионизма». Цитируя теории Эйнштейна как один из источников своего вдохновения, он объявляет, что, «одухотворенные новой концепцией мира», искусства проникли в новое измерение. Живопись должна была оставить плоскость и выйти в объемное пространство, таким образом придя к пространственным конструкциям и инсталляциям. Он настаивал, что «скульптура должна покинуть замкнутое, неподвижное и мертвое пространство, то есть трехмерное пространство Евклида, чтобы завоевать артистически выразительное, четырехмерное пространство [Германа] Минковского». Манифест был подписан внушительным числом ведущих художников. Декларация учитывала и основные интерпретации четвертого измерения, то есть как пространственное и духовное измерение, так и время.

Однако, вообще говоря, немногие живописцы после 1930‑х годов демонстрировали открытый интерес как к четвертому пространственному измерению, так и к неевклидовым пространствам, за исключением сюрреалистов. Андре Бретон нашел новые геометрии идеально подходящими в качестве аргументов в пользу новой «сюрреальности». Хотя сюрреалистичная теория Бретона в значительной степени базировалась на анализе подсознания Фрейда, на их создание также оказали влияние измерения высшего порядка, четырехмерное пространство‑время, объединенное с более высокими измерениями иррационального и подсознательного. Мы можем заметить этот интерес в названиях некоторых из их работ, вроде «Молодой человек, удивленный полетом неевклидовой мухи» Макса Эрнста (1942), а также в их содержании. Примеры таких произведений – «пластичные» часы Сальвадора Дали, а также «Постоянство памяти» (1931) и гиперкуб – четырехмерный аналог куба – в его «Распятии» (Corpus Hypercubicus ) 1954 года. Наиболее научный подход к искусству продемонстрировал сюрреалист Оскар Домингес, который, работая в скульптуре, был очарован жизнью объектов во времени. Его идеи относительно литохронических поверхностей кажутся очень близки к скульптурным работам Боччони. Оскар Домингес создал ряд пространственных «космических» картин, многогранные формы которых сравнивались с геометрическими моделями, построенными в Институте Анри Пуанкаре и показанными на фотографиях Мэна Рея на выставке сюрреалистов 1936 года. Но, чтобы неевклидовы геометрии явились миру во всей своей эстетической прелести и математической точности, надо было дождаться появления компьютеров.

Новые многомерные и неевклидовы геометрии, которые зародились как абстрактные математические теории, не только стали использоваться в новой физике, но и послужили источником вдохновения для художественных и философских движений, которые стремились свергнуть привычный образ мышления. В мире искусства эти геометрии принимали самые разные формы, от духовных до совершенно анархических, а порой и оба вида одновременно. Отказ от евклидовой геометрии как пространственной парадигмы означал, что было создано пространство для нового взгляда на жизнь, Вселенную и все сущее.

Новые художники подвергались яростному нападению за их озабоченность геометрией. Однако геометрические фигуры – сущность рисунка. Геометрия – наука о пространстве, его измерениях и соотношениях – всегда определяла нормы и правила живописи.

До сих пор трех измерений геометрии Евклида было вполне достаточно для выражения беспокойства, которое чувствуют великие художники, тоскующие по безграничности.

Новые живописцы не собираются, как и их предшественники, быть геометрами. Но можно сказать, что геометрия для скульптуры – то же самое, что грамматика для искусства слова. Сегодня ученые не ограничиваются тремя измерениями Евклида. Живописцы совершенно естественно, можно сказать интуитивно, увлеклись новыми возможностями измерения пространства, которые на языке современных студий обозначаются термином «четвертое измерение».

С точки зрения пластики четвертое измерение выходит из трех известных измерений. Оно отображает необъятность пространства во всех направлениях в любой взятый момент. Это само пространство, это измерение бесконечности. Четвертое измерение придает всему пластичность. Оно придает всему правильные пропорции, в то время как в греческом искусстве, например, из‑за несколько механического ритма пропорции постоянно нарушаются.

В греческом искусстве было чисто человеческое понимание красоты, в нем нужен человек как мера совершенства. Но в искусстве новых живописцев за новый идеал принимается бесконечная Вселенная, и именно по этому идеалу мы сверяем новые формы прекрасного, именно он позволяет живописцу располагать предметы в соответствии с желаемой им степенью пластичности…

И наконец, я должен отметить, что четвертое измерение… призвано поддержать устремления и предчувствия многих молодых художников, которые изучают скульптуры Египта, Африки и народов Океании, медитируют на различных научных работах и живут в ожидании великого искусства.

Гийом Аполлинер.

Статья «О предмете современной живописи».

Журнал «Суаре де Пари», февраль 1912 г.