Средняя квадратическая и средняя кубическая

 

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны n квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны n кубов).

Формулы для расчета средней квадратической:

Ø Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

(5.12)

Ø Средняя квадратическая взвешенная

(5.13)

где f – веса.

Формулы для расчета средней кубической аналогичны:

Ø Средняя кубическая простая

(5.14)

Ø Средняя кубическая взвешенная

(5.15)

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов х, и из их отклонений от средней () при расчете показателей вариации.

Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для «лучших» (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных).

 

5.5. Структурные средние.

Для изучения структуры исследуемой совокупности применяют так называемые структурные средние: моду и медиану.

Модой в статистике называют наиболее часто встречающиеся в исследуемой совокупности значение признака.

В дискретном вариационном ряду моду определяют по наибольшей частоте. По следующим данным дискретного ряда распределении определим моду:

 

Дневная выработка рабочего, шт ……………………10 12 15 20 25 30

Число рабочих, имеющих данную выработку, чел…5 10 8 12 9 7

Просматривая частоты ряда (число рабочих), видим, что наибольшая частота-12. Она соответствует дневной выработке 20 шт. Таким образом, мода показывает, что в данной совокупности наибольшее число рабочих имеют выработку 20 шт. деталей в день.

В интервальном ряду мода определяется по формуле:

M₀=x₀+i *_________(f_mo - f_{mo -1})_____________________

(f_mo - f_{mo -1})+ (f_mo - f_{mo +1})

где x₀- нижняя граница модального интервала ( модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);

i - величина модального интервала;

f_mo - частота модального интервала;

f_mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f_{mo +1} - частота интервала, следующая за модальным.

Несколько иначе определяется мода для интервального вариационного ряда. В качестве примера воспользуемся данными табл. 16.

Сначала найдем модальный интервал, на который должна приходиться наибольшая частота; по условию задачи это будет интервал 100-105, так как ему соответствует наибольшая частота – 16 чел. Подставив соответствующие значения в формулу, получим:

M₀= 100 + 5 *(16-3 / (16 – 3) + (16 – 8)) = 103 %/

Наибольшее число рабочих выполняют месячное задание на 103 %.

Медианой в статистике называют такое значение признака, которое расположено в середине упорядоченного ряда.

Медиана определяется по – разному для дискретного и интервального вариационного рядов. Медиана дискретного вариационного ряда, расположенного в ранжированном порядке, имеет серединное значение. Если дискретный ряд включает четное число единиц, то медиана (Ме) определяется как средняя из двух центральных значений. Медиана в интервальном ряду определяется по формуле:

 

 

где x_Ме - нижняя граница медианного интервала ( медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

i - величина медианного интервала;

∑ f - сумма частот;

S_me-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному

f_me – частота медианного интервала.

По следующим данным дискретного ряда распределения, расположенного в ранжированном порядке (в порядке возрастания) определим медиану:

Номер по порядку рабочего… 1 2 3 4 5

Стаж работы, лет …………… 7 8 9 10 11

Так как медиана имеет значение признака, находящееся в середине упорядоченного ряда, то для данного ряда распределения она составит 9 лет. Это значит, что половина совокупности рабочих имеет стаж работы до 9 лет, половина – более 9 лет.

Несколько сложнее определяется сложнее определяется медиана для интервального вариационного ряда (табл.16)

Таблица 16

 

Распределение рабочих по проценту выполнения месячного задания

 

Выполнение месячного задания, %	Число рабочих, чел.	Накопленные частоты от начала ряда
95 - 100
100 - 105
105 - 110
110 - 115
115 - 120

 

Прежде находится медианный интервал, на который должно приходиться 50% накопленных частот данного ряда, что по условию задачи 40/2=20. Сумма частот первых двух интервалов равна 19, что меньше 20. Следовательно, медианный интервал будет находиться не во второй группе, а в третьей, т.е. в пределах границ 105 - 110.

Подставим соответствующие значения в формулу:

М_е = 105 + 5 * ( (40 + 2) - 19/8 )= 105,6 %.

Таким образом, 50% всех рабочих выполняют производственное задание менее чем на 105,6%, 50% - более чем на 105,6%.

Моду и медиану в интервальном ряду можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выберем самый высокий прямоугольник, который является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом последующего прямоугольника. Из точки пересечения отпускаем перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

Медиана рассчитывается на кумуляте. Для ее определения из точки на шкале накопленных частот, соответствующей 50 %, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах распределения можно найти значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на четыре равные части, на десять, сто частей. Эти величины называются квартили, децили, перцентили.

Квартили представляют собой значения признака, делящие ранжированную совокупность на четыре равные части. Различают квартиль нижний (Q1), отделяющий ¼ часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (Q3), отделяющий ¼ с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25 % единиц совокупности будут по величине меньше Q1; 25 % будут заключены между Q1 и Q2, 25 % между Q2 и Q3, а остальные 25 % превосходят Q3. Средним квартилем Q2 является медиана.

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы:

¼ ∑ f – S_Q1-1

Q₁ = xq1 + i *-------------------- ;

f _Q1

 

¾ ∑ f – S_Q3-1

Q₃ = xQ3 + i *-------------------- ;

f _Q3

где xq1 – нижняя граница интервала, содержащая нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25 %);

xQ3 - нижняя граница интервала, содержащая верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75 %);

i – величина интервала;

SQ1-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

SQ3 – 1 – то же для верхнего квартиля;

f Q1 – частота интервала, содержащего нижний квартиль;

f Q3 – то же для верхнего квартиля;

Рассмотрим на примере (табл. 17).

Таблица 17

Распределение семей города по размеру среднедушевого дохода в январе 2010 г.

 

Группы семей по размеру дохода, руб.	Число семей	Накопленные частоты	Накопленные частоты, % к итогу
До 5000 5000-6000 6000-7000 7000-8000 8000-9000 9000-10000 свыше 10000
Итого		-	-

 

Нижний квартиль находится в интервале 6000-7000, накопленная частота которого равна 30 %. Верхний квартиль лежит в интервале 8000-9000 с накопленной частотой 77 %. Поэтому получаем:

Q1= 6000 + 100*((1/4 10000 – 1300) / 1700) = 6710 руб.

Q3 =8000 + 100 * ((3/4 10000 – 5500) / 2200) = 8910 руб.

Итак, 25 % семей имеют среднедушевой доход менее 6710 руб., 255 семей – свыше 8910 руб., а остальные имеют доход в пределах 6710 - 8910 руб.