Одномерная решетка с базисом. Акустическая и оптическая ветви закона дисперсии

В кристаллах со сложной решеткой, которые содержат r атомов в элементарной ячейке, для каждого значения волнового вектора имеется 3r нормальных мод (ветвей) колебаний решетки. Три ветви, частоты которых приближаются к нулю в пределе длинных волн (q ® 0), называются акустическими. Остальные (3r – 3) ветви называются оптическими. Их частоты в длинноволновом пределе не обращаются в нуль.

Рассмотрим динамику колебаний таких решеток на примере одномерной модели, в которой элементарная ячейка длиной a содержит два атома с массами M и m. Равновесные расстояния между атомами полагаем равными a/2, полагаем также, что взаимодействуют лишь ближайшие друг к другу атомы с постоянной упругой связи равной a.

m M

aR_l–a/2 R_l R_l+a/2 R_l+a

Рис. 7.1. Модель одномерной сложной решетки с длиной ячейки a.

Динамические уравнения для атомов, расположенных в узлах решетки l и (l + a/2) имеют вид:

, (7.1)

. (7.2)

Решение этой бесконечной системы уравнений (l = na) ищем в виде:

, (7.3)

, (7.4)

A_q и B_q – амплитуды нормальных колебаний, а w – их частота. Подставив в уравнения (1) и (2), получаем для каждой q-й моды систему двух линейных уравнений для амплитуд нормальных колебаний:

, (7.5)

, (7.6)

которую можно привести к виду:

, (7.7)

, (7.8)

Эта система уравнений имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю:

. (7.9)

Решая это биквадратное уравнение, находим частоты нормальных колебаний:

. (7.10)

Зависимость частоты от волнового числа для каждого знака в правой части (10) приведена на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Акустическая и оптическая ветви спектра нормальных
колебаний одномерной решетки с базисом

Видно, что для каждого значения волнового числа q имеет место два значения частоты w_q., соответствующих знакам «+» и «–» в (10). Знаку «–» отвечает акустическая ветвь нормальных колебаний. Их частота стремится к нулю в длинноволновом пределе (q ® 0). Напротив частота оптической ветви колебаний, соответствующих знаку «+» в формуле (10), в длинноволновом пределе стремится к максимальному значению .

В случае пространственной решетки с двумя атомами в элементарной ячейке на аналогичном графике имеют место в общем случае три акустические и три оптические ветви. Если атомов в элементарной ячейке три, то имеют место шесть оптических ветвей. Количество ветвей дисперсионных кривых равно числу степеней свободы в элементарной ячейке кристалла.