Квантование решеточных колебаний. Фононы. Число мод и плотность состояний фононов. Энергетический спектр фононов

Энергия колебаний решетки квантуется. Каждому нормальному колебанию (s,), где s – поляризация (номер ветви), в кристалле ставится в соответствие нормальный осциллятор с частотой , который может рассматриваться как квантовый осциллятор с энергией

. (8.1)

Это позволяет ввести в рассмотрение кванты поля колебаний кристалла – фононы. Энергия фонона определяется соотношением

. (8.2)

Тогда число заполнения в формуле (1) можно рассматривать как число фононов в нормальной моде (s,).

Фононы – квазичастицы, так как они не существуют вне кристалла. фонону приписывается импульс (квазиимпульс)

, (8.3)

который определен с точностью до вектора обратной решетки , умноженного на постоянную Планка:

. (8.4)

Энергетический спектр фононов ветви s:

, (8.5)

с точностью множителя равного постоянной Планка совпадает с частотным спектром . Он схематически изображен на рис. 8.1. Как уже было отмечено выше, количество ветвей на дисперсионном графике равно числу степеней свободы в элементарной ячейке.

p

Рис. 8.1. Спектр фононов

Скорость фонона ветви s в кристалле определяется выражением

. (8.6)

Энергия колебаний кристаллической решетки равна

, (8.7)

где U₀ – энергия нулевых (вакуумных) колебаний решетки, – среднее число фононов ветви s с импульсом .

Тепловые колебания решетки можно рассматривать как термическое возбуждение фононов. В состоянии теплового равновесия при температуре T среднее число фононов в квантовом состоянии (s,) с энергией определяется формулой Планка

, (8.8)

получающейся из функции распределения Бозе-Эйнштейна с учетом того, что химический потенциал фононного газа вследствие несохранения числа фононов равен нулю.