Реферат Курсовая Конспект
Радиус-вектор, скорость, ускорение - раздел Механика, I Механика Механика – Наука, Изучающая Перемещение В Пространстве Тв...
|
I Механика
Механика – наука, изучающая перемещение в пространстве твердых тел и равновесие их под воздействием сил.
Кинематика – раздел механики, изучающий движение твердых тел, не интересуясь причинами, обусловливающих это движение.
Тела, которые при движении не деформируются – твердые тела.
§1 Основные кинематические характеристики движения материальной точки
(радиус-вектор, скорость, ускорение)
Механическое движение твердого тела сводится к двум видам: поступательному и вращательному.
Опр.
Поступательное движение – движение, при котором любая прямая, связанная с этим телом, перемещается параллельно самой себе.
Опр.
Вращательное движение – движение твердого тела, при котором все точки данного тела движутся по окружности, при этом центры окружностей лежат на одной прямой. При этом любое механическое движение можно разбить на поступательное и вращательное.
Опр.
Материальная точка – тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.
Учитывая, что при поступательном движении твердого тела конечных размеров, все его точки движутся совершенно одинаково (у них одинаковые, но смещенные друг относительно друга траектории, скорость и ускорения в любой момент времени), то кинематика поступательного движения твердого тела сводится к кинематике материальной точки.
Для описания движения необходимо выбрать систему отсчета.
Опр.
Система отсчета – совокупность тела отсчета, системы координат, способа измерения времени.
Положение материальной точки в системе отсчета принято задавать радиус-вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец с самой точкой. Проекция радиус-вектора на оси совпадает с координатами материальной точки (x,y,z) |
Если по осям направить единичные вектора , то радиус-вектор можно представить в виде суммы трех взаимно перпендикулярных векторов.
Или, как говорят, разложить вектор по базису ортогональных векторов. Длина, или модуль:
Пусть материальная точка перемещается вдоль кривой линии L, называемой траек-торией. При этом в момент времени t материальная точка находилась в положении 1, с радиус-вектором , а спустя время в положении 2 |
с радиус-вектором , а спустя время в положении 2 с радиус-вектором . Длина траектории , заключенная между двумя точками 1 и 2 – длина пути материальной точки за время t. r, направленный из 1 в 2, есть вектор перемещения материальной точки за время t:
среднее значение скорости материальной точки на участке траектории 1-2 или за время t, равное отношению ко времени , за которое произошло это перемещение.
Вектор направлен по .
Вектор , равный , за которое это перемещение произошло, при стремлении к 0, называется мгновенной скоростью материальной точки в положении 1 или момент времени t:
,
т.е вектор скорости равен производной от радиус-вектора по времени.
Отметим, что при уменьшении времени точка 2 приближается к точке 1, и угол между вектором и касательной к траектории в точке 1уменьшается и в пределе стремится к 0. Таким образом, в точке 1 и в любой другой точке траектории вектор направлен всегда по касательной к траектории (или всегда направлен по направлению движения)
Найдем связь между проекциями векторов и . С одной стороны, согласно определению,
.
С другой стороны вектор можно разложить по базису . Сравнивая эти выражения для получаем, что , . . При этом модуль скорости, согласно теореме Пифагора, равен
можно найти, используя понятие длины пути, проходимого материальной тоской.
Т.к. предел отношения модуля вектора перемещения к длине пути при стремлении к нулю равен 1, то модуль скорости равняется , т.е. модуль вектора скорости равен производной от пути, проходимого материальной точкой, по времени.
С течением времени при движении материальной точки по траектории вектор скорости в общем случае изменяется как по величине, так и по направлению. Пусть в точке 1 траектории в момент времени t вектор скорости равен , а в точке 2 в момент времени |
равен . Тогда вектор приращения скорости за время равен .
Вектор , равный отношению вектора приращения скорости ко времени , за которое происходит это приращение, называется средним ускорением материальной точки на участке траектории 1-2 (или за время ).
Вектор , равный пределу отношения вектора приращения скорости ко времени , за которое это приращение произошло, при стремлении к 0, называется ускорением материальной точки в положении 1 (в момент времени t).
,
т.е. вектор ускорения равен производной от вектора скорости по времени.
Поскольку сам вектор скорости есть производная от радиус-вектора по времени, то ускорение есть производная второго порядка от радиус-вектора по времени
.
Найдем связь между проекциями радиус-вектора , вектора скорости и вектора ускорения .
С одной стороны, согласно сказанному выше, вектор ускорения равен .
С другой стороны
или .
Сравнивая записанные для вектора ускорения выражения, находим, что
Модуль вектора , согласно теореме Пифагора, равен
§2 Криволинейное движение материальной точки. Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения при криволинейном движении
Направим вектор единичной длины по направлению вектора скорости, тогда , а вектор ускорения
. (*)
Выясним, каким образом направлен вектор производной .
Обозначим через поло- жение вектора в момент времени t, а через - в момент времени . По определению . |
При уменьшении угол между векторами и (перпендикулярен вектору и направлен в сторону его поворота) уменьшается и в пределе стремится к 0. Таким образом, производная есть вектор, перпендикулярный вектору и направленный в сторону его поворота.
Обозначим через длину вектора , получим . Таким образом, выражение (*) запишется , т.е. можно представить в виде суммы двух взаимно ортогональных векторов, один из которых параллелен вектору скорости и называется вектором тангенциального ускорения, а другой перпендикулярен вектору скорости и называется вектором нормального ускорения.
По теореме Пифагора . Т.к. вектор направлен параллельно вектору скорости, |
то можно сказать, что он не изменяет направления вектора скорости, а изменяет лишь его модуль (абсолютную величину).
Т.к. вектор перпендикулярен вектору скорости, то можно сказать, что он не изменяет модуля вектора скорости, а изменяет лишь его направление. Модуль находим из теоремы Пифагора:
§3 Движение материальной точки по окружности. Связь угловых и линейных величин
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все его точки описывают окружности того или иного радиуса и в любой момент времени имеют равные угловые скорости и угловые ускорения. Поэтому кинематику твердого тела можно свести к кинематике движения материальной точки по окружности.
Положение материальной точки при движении по окружности можно однозначно охарактеризовать углом поворота , который можно отсчитывать от положительной части оси ОХ против (по) часовой стрелки до радиуса R, проведенного от начала коор- |
динат к материальной точке (выбор направления отсчета произволен).
Угол, отсчитываемый в противоположном от выбранного направления, считается отрицательным.
[рад] 1 рад = =57,3°.
Положение материальной точки на окружности можно характеризовать числом оборотов N, которое может быть нецелым, тогда связь между N и определяется
. (*)
Производная от угла поворота материальной точки по времени называется угловой скоростью
При равномерном вращении угловая скорость численно равна углу поворота в единицу времени [рад/с].
Производная от числа оборотов N по времени есть частота вращения.
При равномерном вращении частота численно равна числу оборотов в единицу времени [Гц].
Продифференцировав правую и левую части уравнения (*), получим
В общем случае изменяется с течением времени.
Производная угловой частоты по времени – угловое ускорение .
Определим связь линейных и угловых величин при вращательном движении, для чего отметим, что координаты материальной точки (x,y) связаны с соотношениями
Дифференцируя их по времени, получим
(**)
По теореме Пифагора найдем модуль вектора скорости .
Поскольку мы находим модуль вектора скорости, нас интересует арифметическая величина корня, а может быть меньше 0.
Учитывая, что , продифференцировав его, получим .
Продифференцировав проекции скорости () по времени с учетом (**), получим
Тогда
Модуль вектора находим по формуле
Замечание
В случае движения материальной точки вдоль произвольной плоской траектории, бесконечно малый участок вблизи любой точки траектории можно рассматривать как дугу окружности, радиус которой R, называемый радиусом |
кривизны траектории в рассматриваемой точке. Соотношение для величин в этом случае остается таким же, как и в случае движения материальной точки по окружности радиуса R.
§4 Частные случаи движения материальной точки
1)
2)
3)
4)
Движение материальной точки по окружности с постоянной угловой скоростью
Согласно определению угловой скорости
. Проинтегрировав данное выражение, получим
,
где - начальное значение угла поворота.
Третий закон Ньютона
Третий закон Ньютона утверждает, что силы при взаимодействии двух тел всегда возникают парами. Они приложены к разным телам, при этом равны по величине и противоположны по направлению.
– Конец работы –
Используемые теги: Радиус-вектор, Скорость, Ускорение0.065
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Радиус-вектор, скорость, ускорение
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов