Погрешности измерений - раздел Механика, Механика б
Всякое Измерение, Как Бы Тщательно Оно Ни Проводилось, Дает Л...
Всякое измерение, как бы тщательно оно ни проводилось, дает лишь приближенный результат и не может не содержать ошибок (погрешностей измерения).
Пусть произведено n измерений некоторой физической величины х, в результате которых получен ряд значений этой величины: х1, х2, …, хn. Выполнив измерения, необходимо привести не только полученный результат, но и дать информацию о его точности. В подавляющем большинстве случаев наилучшей оценкой величины х, основанной на измерениях значений х1, х2, …, хn, является среднее арифметическое результатов измерений <x>. При этом необходимо указывать интервал значений измеряемой величины +Dх, в пределах которого с определенной вероятностью может оказаться истинное значение измеряемой величины: <х> + Dх есть наибольшее вероятное значение измеряемой величины, <х>-Dх – наименьшее.
Величина Dх называется погрешностью или ошибкой результата, интервал от <х>+Dх до <х>-Dх – доверительным интервалом. Вероятность того, что среднее значение <х> отличается от истинного не более, чем на Dх – называется доверительной вероятностью Р.
Она равна доле результатов однотипных серий измерений, попадающих в пределы доверительного интервала, т.е. отличающихся от истинного значения не более, чем на Dх. Обычно ошибки измерения находятся для определенной вероятности Р0. Для обеспечения более надежного совпадения измеренного результата с истинным значением величины может быть введена большая вероятность Р. В этом случае устанавливается доверительный интервал с границами +e = kDх, где коэффициент k определяется отношением Р/Р0. Доверительные границы e определяются по заданной вероятности Р того, что на числовой оси отрезок 2e с центром в точке <х> включает значение измеряемой величины х.
Если в результаты измерений введены все известные поправки к показаниям приборов и устранены грубые ошибки или промахи, то среднее арифметическое исправленных результатов измерений вычисляется по формуле:
Обычно в качестве общепринятой стандартной погрешности измерения принимается среднеквадратичная ошибка. Она равна дисперсии распределения Гаусса для случайных величин, которое считается хорошим приближением к распределению ошибок измерения.
Среднее квадратичное отклонение среднего арифметического результата измерения
Среднее квадратичное отклонение S<x> характеризует погрешность среднеарифметического <x>. Запись в виде х = +S<x> означает, что в 68 % случаев результаты любых последующих измерений <x>, выполненных с такой же тщательностью, попадут в интервал (<x>-S<x> , <x>+S<x>). Другими словами, полученный результат будет находится в пределах ±S<x> от правильного результата с доверительной вероятностью Р=68 %. Вероятность того, что результат измерения окажется в пределах +2S<x> равна 95,4%; в пределах +3S<x> - 99,7%.
Распределение ошибок измерения совпадает с распределением Гаусса только при бесконечно большом числе измерений. При конечном числе измерений вычислить доверительные границы случайной погрешности результата измерения можно при помощи так называемого распределения Стьюдента
e = +tp,nS<x>
где +tp,n – коэффициент Стьюдента для числа наблюдений n и доверительной вероятности Р, определяемый по таблице коэффициентов Стьюдента.
Как видно из таблицы уже при числе измерений 7-10 можно пользоваться среднеквадратичной ошибкой как и при бесконечно большом числе измерений. При автоматизированных измерениях число измерений может быть очень большим, однако увеличение числа измерений приводит лишь к уменьшению среднеквадратичной ошибки и не изменяет доверительной вероятности в пределах интервала этих ошибок.
Ошибки можно разделить на два типа: систематические и случайные. Основное различие между ними заключается в том, что систематические погрешности остаются постоянными по величине и знаку; случайные погрешности, наоборот, непредсказуемым образом изменяют свою величину и знак. Случайные погрешности можно уменьшить с помощью многократных измерений. Систематические ошибки таким способом уменьшить нельзя. Случайные погрешности можно обрабатывать статистическими методами, к систематическим погрешностям эти методы неприменимы.
Систематические ошибки возникают вследствие погрешностей измерительной аппаратуры (отстающий секундомер, вытянутая линейка, стрелочный прибор, у которого стрелка до начала измерений не была установлена на нуль), отличия условий эксперимента от предполагаемых теорией, несовершенства методики эксперимента. Общих правил для определения систематических ошибок не существует; в каждом конкретном случае их выявление требует специальных исследований. Полностью исключить систематические ошибки нельзя, можно лишь перевести их в разряд случайных.
Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте и являются результатом суммарного действия большого количества факторов, влияние каждого из которых в отдельности учесть практически невозможно. Типичные источники случайных погрешностей: небольшие ошибки наблюдателя, небольшие помехи, воздействующие на аппаратуру (например, механические вибрации) и другие. Случайные погрешности нельзя исключить, но их влияние можно учесть с помощью многократных измерений с последующей математической обработкой результатов измерений.
Разновидность случайных ошибок - грубые ошибки или промахи. Они возникают вследствие невнимательности экспериментатора (например, неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т.п.). В большинстве случаев при многократных измерениях промахи хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты сильно отличаются от других. При обработке результатов такие отсчеты следует отбрасывать.
Доверительные границы общей погрешности результата измерения с учетом систематической погрешности
где q - систематическая погрешность, которая в условиях учебной лаборатории оценивается по цене деления шкалы или указывается на приборе. В некоторых случаях доверительные границы общей погрешности рассчитывается по формуле.
Dx=±
Окончательный результат измерения записывается в виде
х=<x>±Dx; P
Например, ρ = (7,70±0,72)*103кг/м3, Р=0,95.
Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и первая значащая цифра доверительных границ Dx. Доверительные границы записываются с двумя значащими цифрами.
Оценка погрешности результатов косвенных измерений.
Искомая величина вычисляется по расчетной формуле.
<y>=f (<x1>,<x2>,…,<xn>),
при подстановке в нее средних значений измеренных величин.Абсолютная ошибка косвенных измерений находится по обычному правилу нахождения полного дифференциала функции, в который вместо дифференциалов переменных подставляются значения полученных ошибок. При этом все знаки ²-² в формуле дифференциала заменяются на “+”. Например, косвенно измеряемая величина
y= f (x1,x2,…z1z2…)
где x1, x2….. непосредственно измеряемые величины, z1, z2….. принятые табличные значения известных величин.
Тогда абсолютная погрешность.
Dy=
В качестве погрешностей табличных значений берется половина последней значащей цифры, однако обычно эта величина оказывается много меньше ошибок измерений и ее можно не учитывать.
Относительная погрешность определяется как отношение абсолютной погрешности к измеренной величине как и для прямых измерений. Можно, однако, находить относительную погрешность, не определяя абсолютную.
Для этого надо.
А) прологарифмировать расчетную формулу.
y= f (x1, x2,… xn );
В) Найти полный дифференциал от lny
d(lny)=
Производная от lny=, а дифференциал соответственно представляет собой сумму относительных погрешностей по всем измеренным значениям.
Относительная погрешность косвенного измерения находится как сумма относительных погрешностей прямых измерений
=
При расчете ошибок косвенных измерений, когда исходные ошибки независимы и случайны, производится их квадратичное сложение.
Окончательный результат записывается в виде
В таблице приводятся некоторые формулы для нахождения погрешностей величины, являющейся простой функцией других величин.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Погрешности измерений
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Графиктерді салу және өңдеу ережесі
Графиктер өлшемі дәптер парағынан кем емес миллиметрлік параққа құрылады. Параққа қарындашпен координаттық осьтер сызылады, тә
Лшеу қателіктерін есептеп үйрену
Жұмыстың мақсаты: Нақты және жанама өлшеулер кезіндегі жіберілген салыстырмалы және абсолют қателіктерді анықт
Жұмыстың орындалу реті
1. Қондырғыны электр желісiне қосу керек және оны 10 минут қыздыру керек.
2. Ұзындығы 40-50 см.-ге тең өткізгіш алайық. 10 mА-ге
Бақылау сұрақтары.
1.Қандай өлшеулер тура және жанама деп аталады?
2. Кездейсоқ және жүйелі қателіктер дегеніміз не? Олардың қандай айырмашылықтары
Юнг модулін созу әдісімен анықтау.
1. Сым бойының әр түрлі жерлерінің диаметрін d микрометрмен бірнеше рет өлшеңіз де, нәтижелерін 1 кестеге жазыңыз. /1 кестені қараңыз/.
Лшеу нәтижелерін өңдеу
3. 1-кестені тура өлшеуде алынған нәтижелерді өңдеу ережесіне сәйкес толтырыңыз. Сенімді ықтималдылықты Р = 0,67 деп алыңыз, б
Иу әдісімен серпімділік модулін анықтау
Ұзындық бойынша бірдей еркін түрде алынған көлденең қималы біртекті білеудің майысуын қарастырайық. Білеуді деформацияға дейін тік
Атты денелердің серпімді қасиеттері
Кестедегі 1. Серпімділік модулі Е (Н/м2)
2. Ығысу модулі N (Н/м2)
3. Пуассон коэффициенті
4. Серпімділік шегі Rc (Н/м2)
Түзу сызықты қозғалыс
Жалпы жағдайда кез келген дене қозғалысы үш өлшемді кеңістікте жүреді, сондықтан қозғалыс траекториясы және барлы
Жұмыстың орындалу тәртібі
1. Дөңгелек валының және жіптің диаметрін өлшеңіз. Олардың қосындысын d табыңыз.
2. Жүкті бірдей h1 биік
Гироскоп прецессиясы
Жұмыстың мақсаты:сыртқы күштер әсеріненболатынгироскоп қозғалысының ерекшеліктерін оқып білу.
Керекті &
Жұмыстың орындалу тәртібі
1. Қондырғыны желіге қосып, 10-15 минөт қыздырыңыз.
2. Гироскоптың горизонталь және тік осьтер айналасында айнала алуын тексеріңіз. Ол
Тербелмелі қозғалыс
Дене тербелмелі қозғалыс кезінде периодты түрде қарама-қарсы бағыттарда қозғала отырып, бір нүкте арқылы өтеді.
Маятниктер тербелісі
Жұмыстың мақсаты:Математикалық және физикалық, аудармалы маятниктердің тербілістерін зерттеу. Математикалық, физикалық жә
Лшеулер жүргізу реті
1. Қондырғыны қосып, 5-10 минутқа қыздырыңыз. Жұмысты орындау алдында тербелістің изохрондығының диапазонын анықтау керек. Маятникт
Лшеулер жүргізу реті
Өлшеулер ұзындығы l=552.2м, биіктігі 18,1 мм тіреу призмасымен жабдықталған болат стерженмен жүргізіледі. Призманы стержень бойымен жылжытқанда масс
Лшеулер жүргізу реті
Өлшеу жеке маятникте немесе автоматтандырылған ELWRO қондырғысында жүргізіледі.
1. Қондырғыны желіге қосыңыз және оны 10-15 мину
Бақылау сұрақтары
1. Математикалық маятник деген не? Физикалық маятник деген не?
2. Физикалық маятниктің келтірілген ұзындығы дегеніміз не?
3. Тербелмелі жә
Еріксіз тербелістер. Резонанс
Егер денеге сыртқы периодты күш әсер етсе, онда дене осы күш жиілігімен тербелетін болады. Бұндайда тербеліс амплитудасы уақытқа, дене тербелісінің м
А) Цилиндрдің инерция моментін табу
1. Көлденең тербелістер пайда болмайтындай етіп трифилярлық аспаның төменгі дискісін бұрыңыз. Сосын дискінің айналмалы тербелістерінің перио
Бақылау сұрақтары.
1. Инерция моменті дегеніміз не? Денелер қозғалысын сипаттауда ол қандай рөл атқарады?
2. Бұралма тербелістердің физикалық м
Лшеулер жүргізу реті
Физикалық маятниктің тербеліс амплитудасының уақытқа тәуелділігін анықтау үшін шкаланың маятниктің бастапқы ауытқуын 14 шкала
Бақылау сұрақтары
1. Өшетін тербелістердің дифференциялды теңдеуін жазыңыз.
2. Физикалық маятниктің еркін өшетін тербелістерінің амплитудасының уақ
Правила построения и обработки графиков
Графики строятся на листе миллиметровой бумаги размером не меньше страницы тетради. На лист карандашом наносятся координатные оси, причем для независимой величины выбирается ось абс
Правила взвешивания на весах
Для определениямасс существуетбольшое количество весов различной точности и пределов взвешивания. Обычно различают технические весы, точность которых составляет несколько миллиграмм
Штангенциркуль, микрометр.
В простейшем случае измерение длины осуществляется простым сравнением эталона (масштабной лин ейки) с измеряемой длиной. Повышение точности измерения сводится с устранению возможных источников ошиб
Измерения
Работа заключается в измерении удельного сопротивления материала проволоки и оценке возникающих при этом погрешностей. Как известно, из школьного курса физики, сопротивление проводника определяется
Лабораторная работа №2
Определение плотности вещества (измерение длины, массы)
Цель работы: ознакомиться с основными приемами, используемыми при измерении
Измерение плотности тела правильной формы
1. Ознакомиться с устройством и правилами пользования микрометром и штангенциркулем.
2. Измерить 10 раз в различных местах толщину пластинки xi микрометром, ширину y
Определение плотности жидкости
Выньте шарик из стакана с водой, тщательно протрите его фильтровальной бумагой. Снова опустите подвешенный на нити шарик уже в стакан с исследуемой жидкостью так, чтобы он был полностью погружен в
Лабораторная работа № 3
Определение модуля упругости
Цель работы: Получить зависимость между деформацией и напряжением при деформациях рас
Упругие свойства твердых тел
В таблице 1. Модуль упругости Е (Н/м2)
2. Модуль сдвига N (Н/м2)
3. коэффициент Пуассона
4. предел упругости Rc (Н/м2)
Прямолинейное движение
В общем случае движение всякого тела происходит в трехмерном пространстве, поэтому траектория движения и все остальные параметры движения имеют трехмерный характер, однако, использование систем коо
Определение скорости полета пули
(равномерное движение)
Цель работы:ознакомление с различными методами измерения скоростей.
Приборы и материалы: пн
Измерения
1. Измерьте диаметр бумажного диска миллиметровой линейкой.
2. Закрепите на оси электромотора диски и измерьте расстояние между ними.
3. Зарядите ружье и установите его в стойке д
Законы свободного падения
Цель работы: определить ускорение свободного падения, проверить правильность зависимости пути от времени при равноускоренном движении.
Поступательного движения на машине Атвуда
Цель работы: Экспериментальное изучение прямолинейного движения, определение мгновенной скорости и ускорения движущегося тела, проверка II закона Ньютона.
Проверка второго закона Ньютона
а) проверка зависимости ускорения от силы. Если перекладывать перегрузки m1 и m2 с одной стороны на другую, то масса всей системы не изменится, но результирующая
Вращательное движение твёрдого тела
Вращательное движение твёрдого тела характеризуется двумя особенностями:
1. Всe точки тела движутся по замкнутым круговым траекториям.
2. Скорости различных точек
Лабораторная работа № 7
Проверка основного закона динамики вращательного движения твёрдого тела с помощью маятника Обербека
Цель работы: экспериментальное изучение законов динамики вращате
Проверить правильность соотношения .
3. При постоянной массе груза, подвешенного на нити измерить угловое ускорение и момент инерции для двух различных положений грузов на крестовине. Проверить выполнение соотношения
Прецессия гироскопа
Цель работы: изучение особенностей движение гироскопа под действием внешних сил.
Приборы и материалы: Установка ELWRO
Измерения
1. Включить прибор в сеть и прогреть в течение 10-15 минут.
2. Убедиться, что гироскоп может вращаться вокруг горизонтальной и вертикальной осей, гироскоп должен вращаться
Физический маятник
В математическом маятнике предполагается, что точечная масса, образующая маятник, совершает только поступательное движение. Это предположение удобно тем, что позволяет перенести полученное решение
Определение ускорение свободного падения
с помощью оборотного маятника (метод Бесселя)
В общем случае тела произвольной формы, период колебаний зависит от момента инерции тела относительной точки подвеса однако и
Измерения
Измерения проводятся на автоматизированной установке ELWRO или на отдельном маятнике.
1.Включить установку в сеть и прогреть ее в течение 10-15 минут.
Лабораторная работа № 11
Связанные маятники. Резонанс
Цель работы: наблюдение колебаний связанных маятников и передачи энергии между ними. Наблюдение резона
Период колебаний маятника с пружиной
1.Включить установку, прогреть ее в течение 5-10 минут.
2.Отсоединить все пружины, связывающие маятники и двигатель. Отклонив маятник, проходящий через обойму с фотодатчиком на 3-40
Вынужденные колебания. Резонанс
Если на тело действует внешняя периодическая сила, то тело начинает колебаться с частотой этой силы. При этом амплитуда колебаний зависит от времени, собственной частоты колебаний тела, коэффициент
Связанные маятники
Если имеется система из двух маятников, связанных между собой пружиной, то для описания колебаний маятников необходимо вводить систему уравнений для углов отклонения каждого из маятников. Решение п
Методом крутильных колебании
Цель работы:Определение моментов инерции различных тел с помощью крутильного маятника (трифилярного подвеса), проверка теоремы Штейнера-Гюйгенса.
Измерения
1. Измерение момента инерции цилиндра
1. Осторожно повернуть нижний диск трифилярного подвеса, так чтобы не возникало поперечных колебаний, измерить
Тензор инерции
Момент инерции при одной и той же массе оказывается различным в зависимости от геометрии тела и положения оси вращения. Пусть ось вращения образует с осями координат углы a, b, g. Тогда момент ине
Логарифм этического декремента затухания.
Цель работы: Экспериментальное определение логарифмического декремента затухания и добротности колебательной системы.
Приборы и принадлеж
Измерения
1. Для определения зависимости амплитуды колебаний физического маятника от времени рекомендуется выбрать начальное отклонение маятника около 14 делений шкалы. Включить секундомер необходимо при зна
Новости и инфо для студентов