рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Метод множителей Лагранжа.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Метод множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа. - раздел Образование, Курс лекций Основные понятия и определения Другой Способ Определения Условного Экстремума Осуществляется С Построения Вс...

Другой способ определения условного экстремума осуществляется с построения вспомогательной функции Лагранжа, которая достигает max для тех же х₁,х₂,…,х_n, что и целевая функция z.

Пусть решается задача определения условного экстремума функции z=f(x) при ограничении

φ(х)=0.

Составим функцию, которая называется функция Лагранжа

L(x)=f(x)+∑λ_iφ_i(x)

_i=1

λ_i– постоянные множители (множитель Лагранжа).

Определение стационарных точек приводит к решению системы уравнений:

∂L(x)/ ∂X_j=0, j=1,2,…n.

∂L(x)/ ∂λ_i=0, i=1,2,…m. отсюда видно, что

L′_λ_i(x)= φ_i(x)

Таким образом, задача нахождения условного экстремума функции z=f(x) сводится к нахождению локального экстремума функции L(x). Если стационарная точка найдена, то вопрос о существовании экстремума решается на основании достаточного условия экстремума.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=9x₁²+4x₂²+x₃²-(3x₁²+2x₂²+x₃²) при условии, что х₁ х₂ х₃ удовлетворяют уравнению х₁²+х₂²+х₃²=1, которое определяет сферу единичного радиуса.

Согласно теореме Вейерштрасса, функция достигает на этой сфере свое наибольшее и наименьшее значение. Находим условный глобальный экстремум. Запишем уравнение связи в виде: х₁²+х₂²+х₃²-1=0;

Составим функцию Лагранжа:

L=9x²₁+4x²₂+x²₃-(3x²₁+2x²₂+x²₃)+λ(x²₁+x²₂+x²₃-1)

Найдем частные производные этой функции по х₁, x₂, x₃, λ и приравняем их к 0.

L^′(x₁)=х₁((9+λ)-6(3 х₁²+2х₂²+х₃²))=0

L^′(x₂)=х₂((4+λ)-4(3 х₁²+2х₂²+х₃²))=0

L^′(x₃)=х₃((1+λ)-2(3 х₁²+2х₂²+х₃²))=0

L_λ^′= х₁²+2х₂²+х₃²)) =1

Решая систему, получим стационарные точки(6 точек), в которых найдем значения функции z наибольшее=1 и z наименьшее=0

Однако применение классических методов в исследовании операций весьма ограничено, так как задача определения условного экстремума функции n переменных весьма трудоемка.

Поэтому разработаны приближенные методы решения нелинейных задач программирования, например, для выпуклых(вогнутых) функций.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Курс лекций Основные понятия и определения

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ... МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Г С БОРОВСКИЙ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод множителей Лагранжа.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Место и роль методов оптимизации при моделировании и решении прикладных задач.
Исследование операций – научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов эффективного управления различными организационными системами.

Общая постановка задачи линейного программирования.
Обозначим Хj (j = 1,2, … , n) –число единиц продукции Pj; bi (i = 1,2,…, m) запас ресурса Si; aij – число единиц ресурса S

Решение.
X1, X2– число единиц видов изделий соответственно А и В. № п/п Алгоритм Конкретное соответствие данной задаче

Геометрическая интерпретация решения ЗЛП.
Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов: На координатной плоскости Х1ОХ2 строится область допустимых решений (ОДР). Она представляет собой мно

Отыскание опорного и оптимального решения ЗЛП с использованием табличного алгоритма с заменой базисных переменных.
Алгоритм составления симплексных таблиц (СТ), рассмотрим на примере решения задачи отыскания max. Пример 2.6 Линейная функция: F=2x1+3x

Выполнить самостоятельно.
В соответствии с индивидуальным заданием №1 решить задачу максимизации с использованием симплексных таблиц. Вариант задания выбирается по номеру зачетной книжки: -предпоследняя цифра - № с

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ №1
0,1,2 3,4,5,6 7,8,9 f(x)=3x1-2x2; 2x1+x2

Постановка задачи целочисленного программирования (ЗЦП)
ЗЦЛП формируется следующим образом: Найти такое решение (план) Х=(х1х2… хn), при котором линейная ф-ция: n Z=∑cj

Метод отсечения (метод Гомори).
Сначала задача решается без условия целочисленности, если полученный план целочисленный, то задача решена. В противном случае к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, обладающее следующ

Алгоритм решения ЗЛЦП
1.Симплексным методом решить задачу без учета условия целочисленности, если все компоненты оптимального плана целые, то он является оптимальным и для задачи целочисленного программирования.

Методы определения экстремума унимодальной функции.
Унимодальная функция – функция, в интервале исследования имеющая только один экстремум. А) Методы определения экстремума функции одной переменной.

Методы определения локального экстремума функции нескольких переменных
а) Метод Гаусса – Зейделя Метод поочередного изменения параметров (переменных), или метод покоординатного спуска (подъема). Суть метода: поочеред

Алгоритм метода
Случайно выбираемся точка с некоторыми координатами. Затем по формуле (1) рассчитывается следующая точка. Алгоритм остана