Екстремуми функції та правила їх знаходження.

Ознака зростання (спадання) функції: Якщо функція f має додатню (від’ємну) похідну в кожній точці деякого інтервалу, тоді вона зростає (спадає) на цьому інтервалі.

Внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна функції дорівнює 0, нескінченості або не існує, називаються критичними.

Теорема Ферма: Якщо точка х=а є точкою екстремуму для функції f(x) та в цій точці існує похідна, тоді вона дорівнює 0.

Теорема (достатня ознака існування екстремуму): Якщо похідна f^I(x) при переході через точку х=а змінює свій знак, тоді х=а являється екстремумом для функції f(x). До того ж, якщо ліворуч від х=а f^I(x)<0, а праворуч – f^I(x)>0, тоді х=а є точкою мінімуму, і навпаки, якщо ліворуч від х=а f^I(x)>0, а праворуч – f^I(x)<0, тоді х=а є точкою максимуму.

Правило № 1 знаходження екстремумів функції (за першою похідною):

1) Знаходять похідну даної функції;

2) обчислюють критичні точки;

3) встановлюють знаки похідної при переході через критичні точки та знаходять екстремуми;

4) обчислюють значення функції в екстремумах.

Правило № 2 знаходження екстремумів функції (за другою похідною):

1) Знаходять похідну даної функції;

2) обчислюють критичні точки;

3) знаходять другу похідну;

4) обчислюють значення другої похідної в критичних точках: