Точки перегину. Правила знаходження.

Крива називається опуклою у точці х=а, якщо у деякому околі цієї точки, вона розташована під своєю дотичною в точці (а;f(а)).

Крива називається вгнутою у точці х=а, якщо у деякому околі цієї точки, вона розташована над своєю дотичною в точці (а;f(а)).

Точки, що відділяють опуклі частини графіку від вгнутих, чи навпаки, називаються точками перегину.

Теорема: Якщо друга похідна у даному проміжку має додатній знак, тоді крива вгнута на цьому проміжку, а якщо – від’ємний знак, тоді опукла. Точками перегину є ті точки, при переході через які друга похідна змінює свій знак.

Правило знаходження точок перегину функції:

1) знаходять другу похідну;

2) обчислюють точки, в яких вона дорівнює 0, або не існує;

3) визначають проміжки, на яких вона зберігає свій знак. Якщо «+», то функція вгнута, якщо «–», то опукла;

4) знаходять точки перегину та значення функції в них.

План дослідження функції:

1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити парність, непарність та періодичність.

3. Знайти точки перетину графіку з осями координат.

4. Дослідити на екстремум та знайти проміжки спадання і зростання функції.

5. Знайти точки перегину та інтервали вгнутості та опуклості.

6. Побудувати графік функції.

Приклад № 6. Дослідити функції та побудувати їх графіки

Розв’язання:

а)

1. Область визначення:

2. Функція неперіодична, перевіримо парність та непарність:

не є парною, не є непарною.

3.Точки перетину з осями координат: з Ох у=0,тоді

, тобто (-3;0), (1;0). З Оу х=0, тоді , тобто, (0;-3).

4. Знайдемо екстремуми:- критична точка.

, точка (-1;-4) – точка мінімуму функції.

5. Знайдемо точки перегину: , це означає, що точок перегину немає. , отже, функція вгнута на всій області визначення.

6. Побудуємо графік даної функції:

 

Розв’язання:

б)

1. Область визначення:

2. Функція неперіодична, перевіримо парність та непарність:

не є парною, не є непарною.

3.Точки перетину з осями координат: з Ох у=0,тоді

, точки перетину є. З Оу х=0, тоді , тобто, (0;4).

4. Знайдемо екстремуми:- критичні точки.

, точка (-2;20) – точка максимуму функції, точка (2;-12) – точка мінімуму функції.

5. Знайдемо точки перегину: - можлива точка перегину.

, отже, функція вгнута на

і опукла на , тобто точка (0;4) – точка перегину функції.

6. Побудуємо графік даної функції: