Диференціальне обчислення функції однієї змінної

Диференціальне обчислення функції однієї змінної

Програма

 

Похідна функції, таблиця похідних. Похідна складної функції. Геометричний зміст похідної. Фізичний зміст похідної. Дослідження функції та побудова її графіка за допомогою похідної.

Зміст уміння для даної спеціальності:Використовувати математичні методи при розрахунках економічної ефективності технологічних процесів виготовлення типових зварних конструкцій. Визначати тип зварної конструкції, призначення її основних елементів; виконувати розрахунки нескладних елементів зварних конструкцій на міцність та визначати розміри їх перерізів при статичному навантаженні. Розраховувати та вибирати параметри режиму зварювання тиском. Розраховувати та вибирати параметри режиму зварювання плавленням.

Методичні вказівки

1. Вивчити навчальний матеріал за підручником В. Т. Лисичкин, И. Л. Соловейчик "Математика" розділ ІV, чи за будь-яким іншим підручником з поданих у списку літератури.

2. Ознайомитися з методичними вказівками до даної теми та розібрати розв’язання прикладів з даного посібника.

3. Дати відповіді на питання та виконати вправи для самоперевірки.

 

Границя функції в точці

Приростом аргументу називається різниця між х0 та х, де х – значення взяте з околу х0: . Приріст функції , але , тоді . Похідною функції в точці х0 називається границя відношення приросту функції до…  

Похідна складної функції.

Теорема. Якщо функція f(и) має похідну по и, а и(х) має похідну по х, тоді похідна складної функції у=f(и(х)) по х визначається рівністю:

Приклад № 3. Знайти похідну даної функції

Розв’язання:

Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної.

Геометрична інтерпретація похідної (сформульована Лейбніцем в кінці XVII ст.): значення похідної функції у=f(x) в точці х_о дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіку функції в точці х_о, тобто k=fⁱ(x_o)=tg.

З курсу шкільної геометрії, рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k,

що проходить через точку М_о(х_о,у_о) має вигляд: у – у_о = k( х – х_о).

Так як у_о=f(x_o) та k=fⁱ(x_o), тоді отримаємо рівняння дотичної до кривої у=f(x) в точці М(х_о,f(x_o)) :

Приклад № 4.

Скласти рівняння дотичної, проведеної до графіка функціїв точці А(3;6).

Розв’язання:

Рівняння дотичної:

Знайдемо поступово коефіцієнти:

1)

2)

3)

Тоді рівняння дотичної матиме вигляд:

Відповідь:

Фізичний зміст похідної: похідна показує швидкість зміни фізичної величини: .

 

 

Похідні вищих порядків.

Аналогічно, похідна третього порядку функції у=f(x) є похідна від її похідної другого порядку, тобто . Взагалі, похідною п-го порядку від функції у=f(x) називається похідна від її… Механічний зміст другої похідної: Якщо заданий закон прямолінійного руху точки, тоді друга похідна шляху за часом є…

Зростання та спадання функції.

Екстремуми функції та правила їх знаходження.

Внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна функції дорівнює 0, нескінченості або не існує, називаються критичними. Правило знаходження інтервалів монотонності функції: 1. Знаходять похідну даної функції.

Точки перегину. Правила знаходження.

Крива називається вгнутою у точці х=а, якщо у деякому околі цієї точки, вона розташована над своєю дотичною в точці (а;f(а)). Точки, що відділяють опуклі частини графіку від вгнутих, чи навпаки,… Теорема: Якщо друга похідна у даному проміжку має додатній знак, тоді крива вгнута на цьому проміжку, а якщо –…

Питання для самоперевірки

1. Дати означення похідної функції.   2. В чому складається геометричний зміст похідної функції?

Самостійна робота

Знайти похідні функцій.

Дослідити функцію та побудувати її графік.

    № 3. Розв’язати прикладну задачу:

Інтеграл та його застосування.

Програма

Первісна. Невизначений інтеграл та його властивості. Основні табличні інтеграли. Основні властивості та обчислення визначеного інтеграла. Інтегрування заміною змінної (методом підстановки). Метод інтегрування за частинами. Визначений інтеграл та його геометричний зміст. Обчислення площ фігур за допомогою визначеного інтегралу. Застосування інтегралу до розв’язання фізичних задач.

Зміст уміння для даної спеціальності:Використовувати математичні методи при розрахунках економічної ефективності технологічних процесів виготовлення типових зварних конструкцій. Визначати тип зварної конструкції, призначення її основних елементів; виконувати розрахунки нескладних елементів зварних конструкцій на міцність та визначати розміри їх перерізів при статичному навантаженні. Розраховувати та вибирати параметри режиму зварювання тиском. Розраховувати та вибирати параметри режиму зварювання плавленням.

Методичні вказівки

1. Вивчити навчальний матеріал за підручником В. Т. Лисичкин, И. Л. Соловейчик "Математика" розділ V, чи за будь-яким іншим підручником з поданих у списку літератури.

2. Ознайомитися з методичними вказівками до даної теми та розібрати розв’язання прикладів з даного посібника.

3. Дати відповіді на питання та виконати вправи для самоперевірки.

 

Поняття невизначеного інтеграла. Табличні інтеграли.

Причому, . Сукупність всіх первісних функцій на інтервалі <<називають невизначеним… Таблиця інтегрування:

Основні властивості та обчислення визначеного інтеграла.

Для обчислення визначеного інтеграла використовують формулу Ньютона-Лейбніца: З цієї формули легко побачити порядок обчислення визначеного інтеграла:

Властивості визначеного інтегралу

1. Визначений інтеграл з однаковими границями інтегрування дорівнює нулю:

2. При перестановці границь інтегрування знак інтегралу змінюється на протилежний: .

3. Постійний множник можна виносити за знак інтегралу: .

4. Для довільного числа с визначений інтеграл в межах від а до в можна обчислити як суму двох інтегралів в межах від а до с та від с до в: .

5. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів цих функцій: .

Інтегрування методом підстановки (заміна змінної).

Схема методу для невизначеного інтегралу: 1) частину підінтегральної функції замінити новою змінною; 2) знайти диференціал від обох частин заміни;

Застосування визначеного інтеграла

1)Площа криволінійної трапеції (мал. 1.), обмежену графіком неперервної функції ( де ), відрізком вісі та відрізками прямих , , обчислюється за… 2)Площа фігури (мал.. 2.), обмежену графіками неперервних функцій та ( де ), відрізками прямих , , обчислюється за…

Шлях, пройдений тілом.

Приклад 18.Знайтишлях, що виконало тіло за 10с від початку руху, якщо його швидкість змінюється за законом: . Розв’язання:. Приклад 19.Швидкість тіла, яке рухається прямолінійно, дорівнює . Обчислити шлях, пройдений тілом від початку руху до…

Питання для самоперевірки

1.Дати означення невизначеного та визначеного інтеграла.

 

2.Перелічити основні властивості інтегралу.

 

3.Визначити: у чому полягає геометричний зміст визначеного інтегралу?

 

4.Визначити:які є формули для визначення площі плоскої фігури за допомогою визначеного інтегралу?

 

5.З’ясувати, за якою формулою обчислюється шлях, пройдений тілом?

 

Самостійна робота

1. а) ;б) . 2. а) ;б) . 3. а) ; б) .

А) ; б) .

12. а) ; б) .

А) ; б) .

14. а) ; б) .

15. а) ; б) .

 

А) ; б) .

17. а) ; б) .

18. а) ; б) .

А) ; б) .

А) ; б) .

21. а) ; б) .

22. а) ; б) .

23. а) ; б) .

24. а) ; б) .

25. а) ; б) .

26. а) ; б) .

27. а) ; б) .

28. а) ; б) .

А) ; б) .

30. а) ; б) .

 

 

№ 3. Зробіть креслення та обчисліть площу фігури, обмежену даними лініями:

1. та віссю .

2. .

3. .

4. та віссю .

5. та .

6. .

7. та віссю .

8. .

9. .

10. та віссю .

11. та .

12. .

13. та віссю .

14. та .

15. .

16. та віссю .

17. та .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. та віссю .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

 

№ 5. Розв’язати прикладну задачу:

1.Тіло кинули з поверхні землі вертикально вгору з швидкість . Обчисліть найбільшу висоту, на яку підніметься тіло

2.Швидкість прямолінійного руху тіла задана рівнянням . Обчисліть його шлях, пройдений за четверту секунду.

3.Швидкість прямолінійного руху тіла задана рівнянням . Обчисліть його шлях, пройдений за десяту секунду.

4.Швидкість руху точки змінюється за законом . Знайти шлях, який пройшло тіло за третю секунду.

5.Швидкість руху точки . Знайти шлях, який пройшла точка від початку руху до зупинки.

6.Швидкість руху тіла . Знайти шлях, який воно пройшло за п’яту секунду від початку руху.

7.Швидкість руху точки . Знайти її шлях за другу секунду.

8.Тіло кинули з поверхні землі вертикально вгору з швидкість . Знайдіть найбільшу висоту, на яку підніметься тіло

9.Швидкість точки . Знайти її шлях за третю секунду.

10.М’яч кинули вертикально вгору. Знайти максимальну висоту

піднімання м'яча, якщо .

 

11.Тіло кинули з поверхні землі вертикально вгору з швидкість . Обчисліть найбільшу висоту, на яку підніметься тіло

12.Швидкість прямолінійного руху тіла задана рівнянням . Обчисліть його шлях, пройдений за четверту секунду.

13.Швидкість прямолінійного руху тіла задана рівнянням . Обчисліть його шлях, пройдений за десяту секунду.

14.Швидкість руху точки змінюється за законом . Знайти шлях, який пройшло тіло за третю секунду.

15.Швидкість руху точки . Знайти шлях, який пройшла точка від початку руху до зупинки.

16.Швидкість руху тіла . Знайти шлях, який воно пройшло за п’яту секунду від початку руху.

17.Швидкість руху точки . Знайти її шлях за другу секунду.

18.Тіло кинули з поверхні землі вертикально вгору з швидкість . Знайдіть найбільшу висоту, на яку підніметься тіло

19.Швидкість точки . Знайти її шлях за третю секунду.

20.М’яч кинули вертикально вгору. Знайти максимальну висоту

піднімання м'яча, якщо .