Переставлення (перестановки).

 

Нехай потрібно підрахувати число способів, за якими можна розмістити в ряд елементів множини, тобто кожне розміщення є скінченною множиною, елементи якої записано у певному порядку.

Скінченні множини, для яких істотним є порядок елементів, називають впорядкованими. Вказати порядок розміщення елементів у скінченій множині означає нумерацію елементів множини. Дві впорядковані множини рівні, якщо вони складаються із однакових елементів і однаково впорядковані. Наприклад, множини (а,в) і (в,а) – різні впорядковані множини, елементами яких є елементи невпорядкованої множини {а,в}.

Означення. Будь-яка впорядкована множина, що складається із елементів називається перестановкою із елементів.

Перестановки складаються з одних і тих самих елементів, а відрізняються лише порядком елементів.

Число перестановок у множині із елементів позначається і обчислюється за формулою: .

Для числа перестановок справедлива наступна рекурентна формула:

.

Зауважимо, що число перестановок можна підраховувати в Excel за допомогою функції «ФАКТР».

Приклад 1.1. Скільки різних трьохзначних чисел можна скласти, використовуючи у числах цифри 1,2,3 не більше одного разу? Вкажіть ці числа.

Розв’язування.

 

Приклад 1.2. Скількома способами можна посадити за парту 4 студентів?

Розв’язування.

 

 

Розміщення.

 

Нехай маємо множину із різних елементів.

Означення. Розміщенням із елементів по називають підмножини, що складаються із елементів, вибраних із даних елементів і розміщених у певному порядку (іншими словами – всі впорядковані підмножини даної множини).

Розміщення можуть відрізнятись одне від одного або самими елементами, або їх порядком.

Кількість розміщень із елементів по позначають і обчислюють за формулою: .

Для кількості розміщень справедлива наступна рекурентна формула:

.

Зауважимо, що число розміщень можна підраховувати в Excel за допомогою функції «ПЕРЕСТР».

 

Приклад 1.3. Скільки різних чисел можна скласти, використовуючи у числах цифри 1,2,3 не більше одного разу? Вкажіть ці числа.

Розв’язування.

 

Приклад 1.4. Скількома способами можна вибрати старосту, профорга та їх заступника в групі із 10 студентів?

Розв’язування.

 

 

Сполучення (комбінації).

Означення. Будь-яка підмножина із елементів даної множини, яка містить елементів, називається комбінацією із елементів по .

Комбінації різняться складом елементів.

Число комбінацій позначають і обчислюють за формулою:

.

Зауважимо, що число комбінацій можна підраховувати в Excel за допомогою функції «ЧИСЛКОМБ».

 

Для кількості комбінацій справедливі наступні формули:

а)( наслідок біноміальної формули Ньютона).

б) ( властивість симетрії).

в) ,де ( рекурентне співвідношення або правило Паскаля ).

Між кількостями розміщень, переставлень та комбінацій існує очевидний зв’язок: .

 

Приклад 1.5. Скільки способів взяття будь-яких двох кредитів (див.умову в) попереднього приклада)? Вкажіть ці кредити.

Розв’язування.

 

Приклад 1.6. Скількома способами можна вибрати трьох делегатів на конференцію з групи із 10 студентів?

Розв’язування.

 

 

Події. Класифікація подій.

 

Під випробуванням (дослідом, експериментом) розуміють відтворення (реалізацію) певного комплекса умов, які можна повторювати необмежену кількість разів.

Під подією розуміють можливий наслідок (результат) випробування. Події, як правило, позначають великими літерами.

Означення. Випадковою подією називається подія, яка може настати (з’явитись) або не настати у даному випробуванні. Всюди надалі для скорочення слово випадкова опускатимемо.

Означення. Достовірною подією називається подія, яка обов’язково настає у даному випробуванні. Достовірну подію позначатимемо .

Означення. Неможливою подією називається подія, яка не може настати у даному випробуванні. Неможливу подію позначатимемо .

Означення. Попарно несумісними подіями (несумісними у сукупності) називаються події , якщо у даному випробуванні ніякі дві з них не можуть настати разом (поява однієї із подій виключає появу будь-якої іншої). У супротивному випадку події називають сумісними.

Означення. Єдино можливими подіяминазиваються події , якщо у даному випробуванні обов’язково настане хоча б одна із цих подій.

Означення. Події утворюють повну групу, якщо вони єдино можливі та попарно несумісні.

Означення. Дві події і , які утворюють повну групу, називаються взаємно протилежними.

Означення. Події називаються рівноможливими, якщо вони мають однакові шанси до появи у даному випробуванні.

Означення. Кажуть, що подія сприяє події , якщо у даному випробуванні в результаті появи події обов’язково з’явиться (настане) подія .

Означення. Простір елементарних подій- – усі єдино можливі, рівноможливі та несумісні події, які неможливо поділити на більш прості події.

Приклад 1.7. Кидається гральний кубик. Розглянемо наступні події: …

 

 

 

Алгебра подій.

Означення. Добутком (перетином) двох подій і (позначається або ) називається подія, яка полягає у одночасній появі подій і у даному випробуванні. Означення легко розповсюджується на випадок скінченної кількості співмножників – подій.

Означення. Сумою (об’єднанням) двох подій і (позначається або ) називається подія, яка полягає у появі хоча б однієї із цих подій (події або події , або одночасно і разом) у даному випробуванні. Означення нелегко розповсюджується на випадок скінченної кількості доданків – подій.

Означення. Різницею двох подій і (позначається або ) називається подія, яка полягає в тому, що настане подія , а подія не настане у даному випробуванні.

Для наглядності при зображенні різноманітних подій та дій над ними користуються так званими діаграмами Венна (Ейлера). При цьому прямокутник зображає так звану універсальну подію - простір елементарних подій.

Приклади.

 

Класичне означення імовірності.

Означення. Імовірність події дорівнює:

,

де- число (кількість) подій у просторі елементарних подій,

а - число наслідків (із простору елементарних подій), які сприяють появі події .