рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Центральна гранична теорема.

Центральна гранична теорема. - раздел Математика, ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА 4. Інтегральна Теорема Муавра-Лапласа Та Її Частинні Випадки....

4. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа та її частинні випадки.

 

Група теорем, які встановлюють відповідність між теоретичними та експериментальними характеристиками великої кількості випадкових величин і випадкових подій, а також які стосуються граничних законів розподілу, об’єднуються під загальною назвою граничних теорем теорії ймовірностей. Ці теореми поділимо на дві групи: закон великих чисел та центральну граничну терему. За А.Н.Колмогоровим під законом великих чисел розумітимемо загальний принцип, згідно до якого сукупна дія великої кількості випадкових факторів призводить (при деяких досить загальних умовах) до результату, який майже не залежить від випадку. Іншими словами, при великій кількості ВВ їх середній результат втрачає випадковість і може бути передбаченим із великою ступінню визначеності.

 

Теорема (нерівність Маркова). Якщо ВВ приймає тільки невід’ємні значення і має фіксоване математичне сподівання , то для довільного додатного числа справедлива нерівність:

.

Доведення.

 

Наслідок (друга форма нерівності Маркова) . За умовами теореми

.

Доведення.

 

Приклад 6.1 . Банк обслуговує в середньому 100 клієнтів щодня. Оцінити імовірність того, що деякого дня банк обслугує: а) не менше 200 клієнтів; б) менше 150 клієнтів.

Розв’язування.

 

 

Приклад 6.2 . Сума всіх вкладів населення у деякому банку становить 3млн.грн., а імовірність того, що випадково взятий вклад буде меншим від 10тис.грн., дорівнює 0,8 . Що можна сказати про кількість вкладчиків банку?

Розв’язування.

 

Теорема (нерівність Чебишова). Якщо довільна ВВ має фіксовані математичне сподівання та дисперсію , то для довільного додатного числа справедлива нерівність:

.

Доведення.

 

 

Наслідок (друга форма нерівності Чебишова) . За умовами теореми

.

Доведення.

 

Зауваження. Нерівності Маркова,Чебишова дають оцінки імовірностей подій знизу або зверху. Часто ці оцінки занадто грубі, а інколи просто трівіальні. Наприклад:

 

 

ЧАСТИННІ ВИПАДКИ НЕРІВНОСТІ ЧЕБИШОВА.

 

а) для біноміально розподіленої ДВВ - частоти появи події з імовірністю в серії із НПВ:

, або ;

б) для біноміально розподіленої ДВВ - частості (частки) появи події в серії із НПВ:

, або .

 

Приклад 6.3 . Середньодобове споживання води мешканцем Одеси становить 300л, а середнє квадратичне відхилення не перевищує 60л. Оцінити імовірність того, що у випадково обрану добу споживання води мешканцем менше 600л.

Розв’язування.

 

 

Теорема Чебишова. Якщо всі дисперсії послідовності попарно незалежних ВВ не перевищують деякого додатного числа, то при майже достовірним можна вважати подію, яка полягає у тому, що модуль відхилення середнього арифметичного ВВ від середнього арифметичного їх математичних сподівань буде величиною нескінченно малою, тобто:

.

Доведення.

 

 

Сенс теореми Чебишова полягає у тому, що при великій кількості незалежних ВВ, дисперсії яких обмежені у сукупності, їх середня арифметична практично втрачає характер ВВ і як завгодно мало відрізняється від сталої величини.

Означення. Послідовність ВВ називається збіжною за імовірністю до величини (сталої або випадкової), якщо для довільного як завгодно малого числа

.

Часто застосовується позначення .

 

Теорема Бернуллі. Частість появи події в серії із НПВ при збігається за імовірністю до - імовірності появи події у кожному окремому випробуванні:

, або .

Доведення.

 

 

Теорема Ляпунова. Якщо - незалежні ВВ, у кожної із яких існують математичні сподівання , дисперсії та абсолютні центральні моменти третього порядка , причому виконується умова . Тоді закон розподілу суми при необмежено наближається до нормального з математичним сподіванням і дисперсією .

 

Наслідок. При виконанні умов теореми імовірність попадання суми ВВ в проміжок можна знаходити за наближеною формулою

,

де - інтегральна функція Лапласа, .

Наслідок (центральна гранична теорема). Зокрема, якщо всі ВВ однаково розподілені, то закон розподілу їх суми при необмежено наближається до нормального.

 

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Для біноміально розподіленої ДВВ - частоти появи події з імовірністю в серії із НПВ справедлива наближена формула:

,

де - інтегральна функція Лапласа, .

Доведення.

 

 

Частинні випадки інтегральної теореми Муавра-Лапласа . Для частоти та частості появи події з імовірністю в серії із НПВ справедливі наближені формули:

,

.

 

 

Приклади.

 


ТЕМА №7

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ... ОДЕСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ... В М МАЦКУЛ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Центральна гранична теорема.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Одеса 2010
  УДК 519.2 ББК 22.17я73 М 36     Рецензенти:   С.В.Левинський –кандидат фізико-мат

Переставлення (перестановки).
  Нехай потрібно підрахувати число способів, за якими можна розмістити в ряд

Приклади.
Властивості: 1.Для довільної події

Приклади.
Геометричне означення імовірності. Означення. Імовірність події

Приклади.
Статистичне означення імовірності. Означення.Нехай проводиться

ТеМА №2
1. Події залежні та незалежні. 2. Умовна імовірність. 3. Теорема добутку та наслідки з неї. 4. Теорема додаванн

ТЕМА №4
1. Незалежні повторні випробування (НПВ). 2. Формула Бернуллі. 3. Біноміальний закон розподілу (закон Бернуллі).

ТЕМА №5
1. Інтегральна функція розподілу та її властивості. 2. Диференціальна функція розподілу та її властивості. 3. Числові характеристики непе

Система випадкових величин.
2. Закон розподілу двохвимірної ДВВ. 3. Функції розподілу двохвимірної ВВ. Залежність та незалежність ВВ. 4. Числові характеристики двохв

ТЕМА №8
1. Предмет математичної статистики. Статистичні сукупності (генеральна та вибіркова). 2. Способи відбору. Проста випадкова вибірка. Впорядкування даних та їх розпо

Приклади.
  Часто необхідно знати закон розподілу ознаки у генеральній сукупності. Наприклад, є підстави вважати, що він має вигляд А. Тоді висувають гіпотезу (припущення): генеральна с

ТЕМА №10
  1. Функціональна, статистична та кореляційна (регресійна) залежності. 2. Проста лінійна регресія. Основні положення. 3. О

Прогнозування.
Після побудови моделі (теоретичної регресійної залежності) та перевірки її адекватності можна виконувати прогнозування. При цьому отримуємо точкові та інтервальні прогнози. Точковий прогноз дає оці

ТЕМА №11
1. Множинний регресійний аналіз. Багатофакторна лінійна регресія. 2. Кореляційна матриця та її вибіркова оцінка. 3. Оцінка взаємозв’язку

Теорема добутку.
ЗАДАЧІ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ В АУДИТОРІЇ. Приклад 1.1. Дана множина

Теореми добутку (продовження) та суми.
2. Повна імовірність. 3. Формула Байєса. ЗАДАЧІ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ В АУДИТОРІЇ.   Приклад 2.1. Два

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №3
1. Дискретні випадкові величини (ДВВ), їх закони розподілу. 2. Операції над ДВВ. 3. Числові характеристики ДВВ та їх властивості.

Локальна формула Лапласа, формула Пуассона.
15. Закон Пуассона (закон рідкісних подій). ЗАДАЧІ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ В АУДИТОРІЇ. Приклад 4.1. В середньому 30% пакетів акцій продаються н

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №5
1. Функція розподілу імовірностей (інтегральна функція) та її властивості. 2. Щільність розподілу імовірностей (диференціальна функція) та її властивості.

Центральна гранична теорема.
4. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа та її частинні випадки. ЗАДАЧІ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ В АУДИТОРІЇ   Приклад 6.1. Середня кі

Система випадкових величин.
2. Закон розподілу двохвимірної ДВВ. 3. Функції розподілу двохвимірної ВВ. Залежність та незалежність ВВ. 4. Числові характеристики двохв

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №8
1. Статистичні сукупності (генеральна та вибіркова), ознаки та їх розподіли. Числові характеристики статистичних розподілів. 2. Точкові та інтервальні оцінк

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №9
1. Статистичні гіпотези. Похибки перевірки гіпотез. 2. Критерії узгодження для перевірки гіпотез. Критична область та її знаходження. 3.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №10
5. Функціональна, статистична та кореляційна (регресійна) залежності. 6. Проста лінійна регресія. Основні положення. 7. Оцінка щільності

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №11
1. Багатофакторна регресія. Основні положення. Особливості (відмінності від однофакторної). 2. Оцінка взаємозв’язку між змінними. Матриця коефіцієнтів парної корел

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги