ТЕМА №5

1. Інтегральна функція розподілу та її властивості.

2. Диференціальна функція розподілу та її властивості.

3. Числові характеристики неперервних випадкових величин (НВВ).

4. Закон рівномірного розподілу.

5. Показниковий розподіл.

6. Нормальний закон розподілу. Деякі розподіли, пов’язані з нормальним.

 

Існує універсальний спосіб задання ВВ – за допомогою функції розподілу імовірностей ( або інтегральної функції розподілу). Всюди надалі ВВ позначаються великими літерами, а малими - довільні дійсні числа.

 

Означення. Інтегральною функцією розподілу ВВ називається імовірність того, що ВВ прийме значення, менше від числа , тобто

.

Ця функція повністю характеризує ВВ з імовірнісної точки зору, тобто є однією із форм закону розподілу. Тепер можна дати чітке означення ДВВ та НВВ.

 

Означення. Випадковою величиною називається величина, яка може приймати значення в залежності від випадкових обставин і для якої визначена функція розподілу ймовірностей. ВВ називається неперервною (НВВ), якщо її інтегральна функція неперервна. ВВ називається дискретною (ДВВ), якщо її інтегральна функція розривна (кусочно – стала).

Для ДВВ із множиною значень функція розподілу ймовірностей визначається як

,

де символ означає, що сумування проводиться для всіх можливих значень , які менші від .

 

Приклад 5.1. Таблиця розподілу ДВВ має наступний вигляд:

Знайти інтегральну функцію розподілу, побудувати її графік.

Розв’язування.

 

 

Графік інтегральної функції розподілу ВВ зображений на рис.

0,7 0,4 х

Її аналітичний вираз:

 

Висновок:

 

ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЇ РОЗПОДІЛУ.

Всюди надалі вважається, що інтегральна функція визначена .

1.Значення функції належать проміжку , тобто , причому .

Доведення.

 

2.Функція є неспадною, тобто .

Доведення.

 

 

Наслідок ( основна формула теорії ймовірностей) :

.

3. Імовірність того, що НВВ прийме деяке окреме значення дорівнює нулю, тобто .

Доведення.

 

Наслідок . Для НВВ справедливі рівності:

Доведення.

 

Розглянуті властивості функцій розподілу можна сформулювати наступним чином: будь-яка функція розподілу є невід’ємною неспадною функцією, що задовольняє умови . Справедливе і обернене твердження: будь-яка функція, що задовольняє вищевказаним властивостям, може бути функцією розподілу деякої ВВ.

Приклад 5.2. Нехай річний дохід навмання вибраного підприємця є ВВ , розподіленою за законом Парето з параметрами та (- граничний дохід, що не обкладається податком). Функція розподілу ВВ має наступний вигляд:

Побудувати графік функції розподілу при та визначити розмір річного доходу підприємця, що обкладається податком, який може бути перевищений з імовірністю 0,5 .

Розв’язування.

 

ЩІЛЬНІСТЬ РОЗПОДІЛУ ІМОВІРНОСТЕЙ.

 

Незважаючи на те, що інтегральна функція розподілу повністю характеризує ВВ, вона не дозволяє уявити характер розподілу. Тому користуються ( тільки для неперервних ВВ) так званою диференціальною функцією або щільністю розподілу ймовірностей, яка також є законом розподілу.

Означення. Щільністю розподілу ймовірностей (або диференціальною функцією розподілу) називається похідна (якщо вона існує) від інтегральної функції розподілу:

.

 

ВЛАСТИВОСТІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ФУНКЦІЇ.

 

1.Щільність розподілу імовірностей – невід’ємна функція, тобто .

Доведення.

 

2. Теорема .(основна формула теорії імовірностей). Імовірність того, що НВВ прийме значення із деякого проміжка знаходиться за формулою:

.

Доведення.

 

3.Інтегральна функція розподілу та диференціальна (щільність розподілу імовірностей) є еквівалентними узагальненими характеристиками НВВ, які пов’язані співвідношенням: .

Доведення.

 

4.Умова нормування закону розподілу НВВ має вигляд: .

Доведення.

 

Числові характеристики НВВ визначаються наступними формулами (якщо збігаються відповідні невласні інтеграли):

 

,

,

.

 

ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ ДЕЯКИХ НВВ.

 

Означення. НВВ називається рівномірно розподіленою на проміжку , якщо її щільність розподілу імовірностей стала на цьому проміжку, а поза цим проміжком дорівнює нулю, тобто

Знайдемо значення сталої , скориставшись властивістю диференціальної функції (умовою нормування):

, , .

Звідси . Таким чином, щільність рівномірно розподіленої ВВ має вигляд:

Її графік:

 

 

Функція розподілу рівномірно розподіленої НВВ :

Дійсно:

 

Графік інтегральної функції розподілу зображений на рис.

 

Числові характеристики рівномірно розподіленої НВВ визначаються формулами:

,

 

,

 

.

Дійсно:

 

Приклад 5.3. Нехай дві незалежні НВВ рівномірно розподілені на . Тоді їх сума рівномірно розподілена на за так званим трикутним розподілом Сімпсона зі щільнстю :

 

Зазначимо, що розподіл суми незалежних рівномірно розподілених на НВВ : , нормованих математичним сподіванням та середнім квадратичним відхиленням , зі зростанням швидко прямує до стандартного нормального розподілу ( вже при ).

 

Означення. НВВ називається розподіленою за показниковим законом з параметром , якщо її щільність розподілу імовірностей має вигляд

Неважко впевнитись, що інтегральна функція розподілу для НВВ , розподіленої за показниковим розподілом, має вигляд:

 

Графіки цих функцій:

 

Числові характеристики для НВВ , розподіленої за показниковим розподілом, визначаються формулами:

,

,

.

Зауважимо, що показниковий розподіл широко застосовується в теорії надійності та в системах масового обслуговування тощо. Зокрема, тільки цьому закону підкоряється час між появою двох послідовних подій у найпростішій течії подій.

 

НОРМАЛЬНИЙ ЗАКОН РОЗПОДІЛУ

Означення. НВВ розподілена за нормальним законом з параметрами та , якщо її щільність розподілу імовірностей має вигляд:

.

 

Скористувавшись означеннями, неважко переконатись, що числові характеристики нормально розподіленої ВВ дорівнюють:

.

 

Властивості диференціальної функції нормально розподіленої ВВ:

 

1.Функція визначена і неперервна на всій числовій осі.

2.Функція набуває лише додатних значень.

3.Графік симетричний відносно прямої .

4.Точкою максимума є , причому .

5., тобто вісь абсцис є асимптотою графіка функції.

 

 

Характер поведінки функції в залежності від параметрів розподілу показані на рисунках:

 

 

Знайдемо вигляд інтегральної функції розподілу. За властивостями (співвідношення між функціями розподілу):

.

 

Зробимо заміну змінних, поклавши :

Враховуючи інтеграл Пуассона та використавши інтегральну функцію Лапласа , остаточно дістаємо:

.

 

Графік інтегральної функції :

 

 

При дослідженні інтегральної функції враховані наступні властивості інтегральної функції Лапласа :

1) функція визначена та неперервна на всій числовій осі;

2) ;

3) функція непарна () , тому її графік симетричний відносно початку координат;

4) функція монотонно зростає, причому .

 

Графік функції Лапласа має наступний вигляд:

 

Зазначимо, що значення функції Лапласа табульовані при , а при . Але набагато ефективніше використовувати функцію «НОРМРАСП» Excel, яка дозволяє обчислювати значення диференціальної та інтегральної функцій нормального розподілу.

 

 

ВЛАСТИВОСТІ НОРМАЛЬНОГО РОЗПОДІЛУ.

 

1.Імовірність попадання значень нормально розподіленої ВВ до проміжку знаходиться за формулою:

. (*)

Доведення.

 

 

2.Імовірність того, що модуль відхилення нормально розподіленої ВВ від свого математичного сподівання не перевищить величину , дорівнює

. (**)

Доведення.

 

 

3. Правило трьох сигм. Із практичною достовірністю (з імовірністю 0,9973) можна стверджувати, що значення нормально розподіленої ВВ попадають до проміжка .

Доведення.

 

 

Графічно це можна зобразити так:

 

Розглянуті властивості дозволяють виділити три характерних особливості нормально розподіленої ВВ :

а) найчастіше у розподілі зустрічаються значення ВВ, близькі до середнього;

б) значення ВВ, рівновіддалені від середнього, зустрічаються у розподілі однаково часто;

в) по мірі віддалення значень ВВ від центру розподілу вони зустрічаються все рідше та рідше.

 

Досить часто на практиці довільну ВВ , розподілену за нормальним законом, нормують, тобто, замість неї розглядають стандартизовану нормально розподілену ВВ , числові характеристики якої дорівнюють .

 

Зауваження. Часто при розгляді нормального закону використовують так звану подвоєну інтегральну функцію Лапласа . Тому інтегральна функція нормального розподілу виражатиметься через подвоєну функцію Лапласа наступним чином: , а формули (*) та (**) набувають вигляду:

; (*)

. (**)

 

ДЕЯКІ РОЗПОДІЛИ, ПОВ’ЯЗАНІ З НОРМАЛЬНИМ.

Логнормальний розподіл.

Неперервна ВВ , яка набуває додатних значень, підкоряється логарифмічно нормальному закону розподілу (скорочено – логнормально розподілена), якщо її логарифм є нормально розподіленою ВВ. Розподіл визначається двома параметрами та , причому, якщо у нормального розподіла - це середнє значення (математичне сподівання), то для логнормального розподіла параметр - це його медіана. Логнормальний розподіл суттєво асиметричний (крива щільності круто підіймається зліва від і полого спускається справа). При прямуванні до нуля логнормальний розподіл прямує до нормального.

Логнормальний розподіл виникає у моделях росту, часто використовується для описування розподілу доходів, банківських вкладів, місячної зарплати, дебіту нафтових свердловин, посівних площ, довговічності виробів тощо.

- розподіл.

Розподілом («хі-квадрат») із ступенями вільностіназивається розподіл суми квадратів незалежних ВВ, розподілених за стандартним нормальним законом, тобто

,

де підкоряються стандартному нормальному закону (з нульовими математичними сподіваннями і середньоквадратичними відхиленнями, рівними одиниці). - розподіл має правосторонню асиметрію і при зростанні повільно прямує до нормального. Цей розподіл широко застосовується в математичній статистиці.

Розподіл Стьюдента.

Розподілом Стьюдента ( -розподілом ) з ступенями вільностіназивається розподіл ВВ

,

де - ВВ, розподілена за стандартним нормальним законом, а - незалежна від ВВ, яка має -розподіл із степенями вільності. Розподіл Стьюдента близький до нормального, але більш пологий (із більш довгими «хвостами»). При зростанні він швидко наближається до нормального розподілу. Розподіл Стьюдента широко застосовується в математичній статистиці.