Аффинная система координат в пространстве.

 

 

Рис.17

 

Пусть дана тройка ненулевых некомпланарных векторов , отнесенных к общему началу в точку . Эти векторы линейно независимы, поэтому их можно принять за базис. Про-извольный вектор линейно выражается через данные векторы, то есть . Векторы образуют аффин-ную систему координат в пространстве, точка - начало этой системы координат, числа - это аффинные координаты вектора. Возьмем произвольную точку , вектор, соединяю-щий данную точку с началом координат, называется радиус-век-тором точки и обозначается , координаты радиус-вектора яв-ляются координатами этой точки.

Аналогично определяется аффинная система координат на плос-

кости.

 

2. Декартова система координат в пространстве.

Рассмотрим три взаимно перпендикулярные оси, пересекающие-

ся в одной точке . Они образуют прямоугольную или декарто-

ву систему координат в пространстве.

 

Рис.18

 

 

Ось называется осью абсцисс, ось - осью ординат, - осью аппликат. Каждой оси соответствует базисный орт: . Произвольный вектор линейно выражается через базисные орты: .Координаты вектора - проекции вектора на оси координат.

Если заданы координаты векторов и ,

то операции над векторами выполняются следующим образом:

а) ;

б) .

Если векторы и коллинеарны, то их координаты пропор-циональны, то есть

(5)

 

 

Определение 15.Направляющими косинусами вектора назы-ваются косинусы углов, которые вектор образует с осями коор-динат.

Так как , то

(6)

 

Пусть заданы координаты начальной точки вектора и конечной точки . Надо найти координаты вектора .

Рис.19

 

, следовательно,

(7)

Длину вектора можно найти по формулам:

 

(8)

(9)

Рассмотрим задачу деления отрезка в заданном отношении.

Рис.20

 

Пусть точка делит отрезок так, что или , тогда , , отсюда следует, что

, если из этого равенства выразить , получим формулу:

 

(10)

 

или в координатной форме:

 

(11)

 

Если точка делит отрезок пополам, то есть , то форму-лы (11) примут вид:

(12)

 

Аналогично определяется декартова система координат на плос-кости и имеют место аналогичные формулы.

 

3.Полярная система координат на плоскости.

Задается точка , которая называется полюсом, луч , исхо-дящий из данной точки, называемый полярной осью. Это поляр-ная система координат.

 

Рис.21

 

Положение точки относительно этой системы координат определяется двумя числами и . =- это длина век-тора, соединяющего точку с полюсом; - угол между полярной осью и вектором . У полюса - не опрелен. Для ос-тальных точек .

Можно найти связь между полярными и декартовыми коор-динатами. Для этого начало декартовой системы совмещают с полюсом, ось с полярной осью. Получим следующие формулы:

 

(13)

 

(14)