Реферат Курсовая Конспект
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ - раздел Математика, Аналитическая Геометрия ...
|
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Геометрические векторы, операции над векторами.
В физике и других науках встречаются два типа величин: скалярные и векторные. Скалярные величины характеризуются численным значением в выбранной системе единиц. Это масса, температура, объем. Векторные величины характеризуются чис-ленным значением и направлением. Это сила, скорость,ускоре-ние.
Определение 1. Геометрический вектор - это направленный отрезок.
Рис.1
Определение 2. Модуль вектора или длина – это расстояние между началом и концом.
Обозначения - ,.
Определение 3. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаково направлены (параллель-ны и направлены в одну сторону).
Рис.2
На рис.2 векторы и равные, векторы и имеют разную длину, векторы и противоположны, векторы и имеют разные направления.
Определение 4. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны одной прямой () .
Определение 5. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.
Операции над векторами.
Свойства операции.
1. 2.
3.
4.
5.
6.
7.
Доказательство 4. Если , то ;
если , то ;
если и имеют разные знаки, то в обеих частях равенства будут нули.
5.
Рис.9
Определение 8.Единичный вектор, направление которого сов-падает с направлением вектора, называется ортом и обозна-чается .
(1)
Различные системы координат на плоскости и в пространстве.
Приложения скалярного произведения.
1.Вычисление проекции
(20)
2.Вычисление косинуса угла между векторами
(21)
3.Условие перпендикулярности векторов
(22)
4. Вычисление работы силы.
Нужно вычислить работу силы , если точка, на которую действует сила, совершила перемещение .
Рис.24
Если точка движется по направлению силы, то по определению, работа равна произведению величины силы на длину перемеще-ния, то есть. Если точка движется под углом к направлению силы, то работает только та составляющая силы, которая направлена по линии перемещения ,перпендикуляр-ная составляющая уравновешивается сопротивлением.
, следовательно, , получаем формулу:
(23)
Работа силы по перемещению точки равна скалярному произ-ведению вектора силы на вектор перемещения.
Пример 3.Даны векторы и . Найти коси-нус угла между векторами.
Решение. Воспользуемся формулой (21), вычисляем:
, , .
Получаем .
Приложения векторного произведения.
Смешанное произведение, свойства.
Пусть даны три вектора .
Определение 20. Смешанным произведением данных векторов называется число
(29)
Смешанное произведение в декартовой системе координат.
Пусть даны векторы
или
(30)
Приложения смешанного произведения.
1. Вычисление объемов:
Пусть на векторах построен параллелепипед, тогда его объем вычисляется по формуле:
(31)
Пусть на векторах построена треугольная пирамида, тогда ее объем вычисляется по формуле:
(32)
2. Тройка векторов правая (левая) тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов положительное ( отри-цательное).
3. - это условие компланарности векторов.
Пример 5.Даны точки . Проверить, лежат ли эти точки в одной плоскости.
Решение.Найдем векторы . Проверим, являются ли эти векторы компланарными, восполь-зуемся условием компланарности:
,
следовательно, векторы некомпланарны, а это значит, что точки не лежат в одной плоскости.
– Конец работы –
Используемые теги: Аналитическая, Геометрия0.056
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов