Теорема сложения для совместных событий.

Все темы данного раздела:

Размещения.
Определение 3.Перестановками называются такие соединения из «n» элементов, которые составлены из одних и тех же элементов и отличаются только порядком следования элементов

Замечание.
Противоположные события – это частный случай несовместных событий. Определение 3. События А и В называются независимыми, если появление од

Относительная частота (частость) события.
Пусть произведено N независимых испытаний на наступление события А и пусть событие А наступило ровно М раз. Определение 1. Относительной частотой

Пусть проведена серия N- испытаний
- событие А наступило

Геометрическое определение вероятности.
Определение 1. Геометрической вероятностью события А называется отношение геометрич

Алгебра событий.
Определение 1. Суммой (объединением) двух событий А и В называют такое событие С, которое состоит в том, что наступит хотя бы одно из этих событий.

Понятие условной вероятности.
Как отмечено выше, вероятность Р (В) как мера степени объективной возможности наступления события В имеем смысл при выполнении определенного комплекса условий. При изменении у

Теорема умножения двух зависимых событий.
Теорема. Вероятность совместного наступления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении,

При этом вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.
Следствие 2. Для любого из событий А и В справедливо равенство

Теорема умножения для независимых событий.
Пусть события А и В – независимы, тогда Теорема.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Теорема. Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий А или В равна сумме вероятностей этих событий.

Следовательно,

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
, где

Вероятность появления только одного события.
Пусть вероятности появления каждого из двух независимых событий и

Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Теорема. Если событие А может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез)

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров,
(по первой гипотезе) По второй гипотезе -

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.
Она применяется, когда событие А, которое может появится только с одной из гипотез , образ

Гипотезы
- деталь произведена первым автоматом;

Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
Теорема . Вероятность

Что из 4 яиц будет 2 курочки или
2) что из 6 яиц будет 3 курочки? (негодных яиц нет).

Далее определим вероятность того, что в
n – испытаниях событие наступит: 1) менее m раз: ;

Локальная теорема Лапласа.
Теорема. Вероятность

Теорема Пуассона.
Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании стремится к нулю

Это формула Пуассона (формула редких событий).
1. Формула Пуассона используется при 2. Параметр λ можно и

Теорема Пуассона чаще всего применяется в теории массового обслуживания.
Пример 1: Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится = 0,0002. К.в.т.,ч. на базу прибудут 3 негодных изделия?

Формулы нахождения наивероятнейшего числа.
1. Если - целое число, то

Интегральная теорема Лапласа.
Пусть проводится серия n

Б) будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине).
Решение

Действия над дискретными случайными величинами.
Определение 1. Дискретные случайные величины х и у называются независимыми между собой, если вероятность любого значения каждой из них не зависит от полученных знач

Среднее арифметическое взвешенное.
Пусть произведено N испытаний, в которых случайные величины появлялись соответственно М раз.

Математическое ожидание.
Если N будет стремиться к , то

Математическое ожидание алгебраической суммы двух независимых случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий.
5. Математическое ожидание числа появлений события А в «n»

Дисперсия.
можно рассматривать как центр, относительно которого происходит рассеивание этой случайной величи

Среднее квадратическое отклонение.
Определение 1.Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии.

Составить таблицу распределения по частостям.
7-8 8-9 9-10 10-11 11-12

От непрерывной случайной величины можно перейти к дискретной, заменив интервал изменения непрерывной случайной величины серединой каждого интервала.
7,5 8,5 9,5 10,5 11,5

Непрерывную случайную величину можно задать еще с помощью функции
- функции распределения вероятностей случайной величины. Определение 1.

Плотность распределения вероятностей.
Определение 1. Дифференциальной функцией распределения или плотностью распределения вероятностей называется первая производная интегральной функции распределения

Если случайная величина принимает значения в замкнутом интервале
, т.е.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, возможные значения которой находятся в интервале

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины определяется дисперсия непрерывной случайной величины.
2. Дисперсией непрерывной случайной величины с плотностью вероятности называется определенны

Числовые характеристики случайных величин, отражающих особенности распределения.
Определение 1.Модой случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (д

Отсюда следует, что
Тогда имеем:

Основные законы распределения вероятностей случайных величин.
1) Биномиальное распределение значений случайной величины. Дискретная случайная величина называется распределенной по биномиальному закону, если его вероятности находятся

Геометрическое распределение.
Пусть производится “n” независимых испытаний на наступление события А и в каждом испытании вероятность наступления равна p. Испытания заканчиваются как только появляется событие. Таким образом случ

Показательное распределение.
Непрерывная случайная величина считается распределенной по показательному закону, если функция распределения

Равномерное распределение.
Определение 1. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке

Выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты.
Х - время ожидания поезда; - отрезок времени ожидания

Нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины. Значит, это распределение можно задать в виде плотности вероятности.
Определение 1. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности

Дисперсия
Определение 3. Дисперсия нормально распределенной случайной велич

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трех сигм.
Пусть дан интервал . Вероятность того, что случайная величина, подчиненная нормальному закону, п

Распределения, связанные с нормальным распределением.
1. Распределение или распределение Пирсона (англ. статистик – 1857- 1936гг.)

Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.
Теорема Ляпунова Если - независимые случайные величины, у каждой из которых существует ма