рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Уравнение прямой

Уравнение прямой - раздел Философия, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Общим Уравнением Прямой Называется Уравнение ...

Общим уравнением прямой называется уравнение

, (3.1)

полученное из уравнения

. (3.2)

Геометрический смысл общего уравнения прямой заключается в том, что оно описывает прямую, проходящую через точку перпендикулярно вектору , который называется нормальным вектором прямой

Каноническим уравнением прямой называется уравнение

. (3.3)

Геометрический смысл канонического уравнения прямой заключается в том, что оно описывает прямую, проходящую через точку параллельно вектору , который называется направляющим вектором прямой:

Уравнением прямой с угловым коэффициентом называется уравнение

, (3.4)

или

. (3.5)

Геометрический смысл коэффициента k – это тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox, т.е. k=tga, b – это отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy.

Пример 3.1. Определить при каких значениях a и b две прямые

(a–1)x–2y–1=0 и 6x–4y+b=0

а) пересекаются; б) параллельны; в) совпадают.

Решение. Две прямые L1: и L2: параллельны, если

.

В частности, прямые совпадают, если

.

В случае

,

прямые пересекаются. В нашем случае, из условия

находим, что две прямые совпадают, если a=4 и b=-2. Две прямые параллельные, если a=4 и b¹-2. Если a¹4 при любом значении b, то прямые пересекаются.

Пример 3.2. Определить при каком значении параметра t прямая

а) параллельна оси абсцисс; б) параллельна оси ординат; в) проходит через начало координат.

Решение. Прямая параллельна оси абсцисс, если A=0; параллельна оси ординат, если B=0; проходит через начало координат, если C=0.

В нашем случае, если , т.е. при и , прямые будут параллельны оси абсцисс: и .

Если , т.е. при , то прямая пройдёт параллельно оси ординат: .

Прямая будет проходить через начало координат, если , т.е. при : .

Пример 3.3. Заданы точка M(–1;2) и прямая L: –2x+y–1=0. Написать уравнения прямых L1 и L2, проходящих через точку M и L1||L и L2^L.

y L2 M o L L1 x

Решение. Сделаем чертеж. Чтобы построить прямую, достаточно знать две ее точки. Очевидно, что A(0;1), B(1;3)ÎL. Через найденные точки проводим прямую. Прямая L задана общим уравнением прямой, тогда ее нормальный вектор имеет координаты n={–2;1}. Поскольку L1||L Þ L1^n, то вектор n будет нормальным вектором также и для прямой L1. Тогда используя формула (3.2), получим

–2(x+1)+(y–2)=0,

или

L1: –2x+y–4=0.

Поскольку L2^L Þ L2||n, то вектор n будет направляющим вектором L2. Тогда используя формулу (3.3), получим

,

или

L2: x+2y–3=0.

Пример 3.4. Найти координаты точки М, лежащей на одной прямой с точками A(–1;1) и B(1;5), если абсцисса и ордината этой точки равны между собой.

Решение. Найдем уравнение прямой (АВ), воспользовавшись формулой прямой, проходящей через две точки:

.

Разделив последнее уравнение на 2, получим

(AB): 2x–y+3=0.

Пусть исходная точка имеет координаты M(a;a). Так как она принадлежит прямой (AB), то ее координаты должны удовлетворять уравнению:

2a–a+3=0 Þ a=–3.

Таким образом, искомая точка имеет координаты М(–3;–3).

Пример 3.5.. Из точки M(3;2) выходит луч света под углом j = arctg2 к оси Ox. Найти уравнения падающего и отраженного лучей.

y
 
 


L2 L1

 

 

j j

K x

 

Решение. Найдем уравнение падающего луча. Эта прямая L1 проходит через точку M с угловым коэффициентом

k1 = tgj = 2.

Тогда используя уравнение (3.5), получим

y–2 = 2(x–3),

или

L1: 2x–y–4=0.

Это есть уравнение падающего луча. Чтобы составить уравнение отраженного луча L2, нужно знать координаты точки отражения K и угловой коэффициент k2. Координаты точки отражения K можно найти как точку пересечения прямой L1 и оси Ox:

Þ

т.е. K(2;0). Угловой коэффициент k2 найдем из того условия, что «угол падения равен углу отражения». Тогда очевидно, что j2 = 1800–j. Отсюда

k2 = tgj2 = tg(1800–j) = –tgj = –2.

Теперь известны все параметры, чтобы записать уравнение отраженного луча:

y = –2(x–2),

или

L2: 2x+y–4=0.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Сибирский государственный аэрокосмический университет... им академика М Ф Решетн ва...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Уравнение прямой

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Указания по выполнению контрольных работ
Настоящие методические указания предназначены для студентов экономических специальностей, изучающих курс высшей математики по заочной форме обучения. Объём и содержание предлагаемого раздела «Матем

Матрицы
Матрица – это совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Складывать матрицы можно только одинаковых размеров. При этом получается матрица тех же размеров, элемент

Определители
Определитель есть число, полученное из элементов матрицы A и характеризующее её. Матрицы обычно обозначаются символами: det A, |A| или

Системы линейных уравнений. Метод Крамера
Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными (1.3) Используя определители 3-го поряд

Матричный метод. Обратная матрица
Матрица А–1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если выполняется равенство AA–1 = A–1A

Метод Гаусса
Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений (1.5) В общем случае n¹m

Ранг матрицы
Минором Mk k-го порядка матрицы А называется определитель k-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и k стол

Векторы и действия над ними
В геометрии под вектором (в узком смысле слова) понимается всякий направленный отрезок. Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать символом

Декартова система координат
Декартовой системой координат называется совокупность точки и базиса. Если базис – ортонормированный, то декартова система называется прямоугольной. Точка в этом случае называется

Векторная алгебра
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Уравнение прямой и плоскости в пространстве
Общим уравнением плоскости называется уравнение , (3.6) полученное из уравнения

Кривые второго поряка
Линия – геометрическое понятие, точное и достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах математики различно. В аналитической

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги