Канонічне рівняння гіперболи. Асимптоти гіперболи.

Гіперболою називається множина точок, для яких різниця відстаней від двох фіксованих точок площини, що називаються фокусами, є величина стала.

Якщо точка належить гіперболі, а та – її фокуси, то властивість точок гіперболи можна записати: . Канонічне рівняння гіперболи буде:

,

де

.

Гіпербола, як еліпс, симетрична відносно вісей координат (рівняння парного ступеня). Усі точки гіперболи лежать поза смугою, обмеженою прямими . Точки називаються вершинами гіперболи; – дійсна піввісь, – уявна піввісь.

Розв’яжемо рівняння гіперболи відносно :

.

Якщо ; , гіпербола має нескінченні гілки та, крім того, при великих значеннях змінна буде наближатися до , а це означає, що гіпербола буде наближатися до прямих . Дійсно

.

Прямі називаються асимптотами гіперболи. Внаслідок того, що , точки гіперболи лежать у середині кута, який утворенo асимптотами (рис.5.7).

Рис.5.7 Рис.5.8

Позначимо – ексцентриситет гіперболи. Якщо e збільшується, a – фіксовано, то зростає і b, тобто збільшується кут між асимптотами. При гіпербола наближається до відрізків та осі Оx. Точку перетину асимптот гіперболи називають центром гіперболи. Поряд з гіперболою можна розглянути гіперболу . Її дійсна вісь – це вісь Oy, асимптоти співпадають з асимптотами початкової гіперболи. Ці гіперболи називаються спряженими (рис.5.8).

Якщо піввісі гіперболи рівні одна одній, тобто , гіпербола називається рівнобічною. Рівняння її асимптот , тобто вони взаємно перпендикулярні. Така гіпербола задається рівнянням .

Ексцентриситет гіперболи можна знайти за формулою:

,

або

.

Ексцентриситет характеризує форму прямокутника, діагоналями якого є асимптоти гіперболи. Для гіперболи (рис.5.7) рівняння директрис , для спряженої гіперболи (рис.5.8) рівняння директрис .

Приклад. Задано гіперболу: . Знайти її вісі, вершини і фокуси, асимптоти, директриси.

Розв’язання. Запишемо задане рівняння в канонічній формі . Бачимо, що , и . Тобто вісі гіперболи: , . Координати вершин гіперболи: (4; 0), (-4; 0). Знайдемо величину . Маємо координати фокусів: (5;0), (-5;0).

Рівняння асимптот: . Визначимо величину : . Отже, рівняння директрис: .