рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Нормальне рівняння прямої на площині, відстань від точки до прямої

Нормальне рівняння прямої на площині, відстань від точки до прямої - раздел Математика, Розділ 3. Аналітична геометрія Нехай За Нормальний Вектор ...

Нехай за нормальний вектор прямої (рис.5.2) вибрано одиничний вектор та задана відстань від початку координат до прямої. Знайдемо проекцію вектора , який проведено від початку координат, до будь-якої точки прямої на вектор .

 

       
 
   
 

 


Рис.5.2 Рис.5.3

 

 

Отже, . Відзначимо, що , та запишемо нормальне рівняння прямої у векторній формі:

 

,

або у скалярній:

.

 

Це рівняння має дві важливі властивості:

1) ;

2) .

 

На основі цих властивостей можна загальне рівняння прямої привести до нормального вигляду. Помножимо загальне рівняння прямої на нормувальний множник

 

та знайдемо з умови:

; .

.

 

Отже, щоб привести загальне рівняння прямої до нормального виду, слід поділити його на довжину нормального вектора, яка має знак протилежний знаку вільного члена.

Для знаходження відстані точки до прямої проведемо із точки вектор у будь-яку точку даної прямої (рис. 5.3). Отже,

 

,

або

.

 

(точка належить прямій, тому .) Звідси одержимо:

.

 

Таким чином, щоб знайти відстань від точки до прямої, треба привести рівняння прямої до нормального виду, підставити в нього координати точки і даний вираз узяти по модулю.

Приклад. Задано трикутник з вершинами А(2; 1), В(3; 0), С(5; 4). З вершини А проведені висота, медіана, бісектриса. Скласти рівняння цих ліній і знайти їх довжину. Обчислити площу трикутника.

Розв’язання. Зробимо схематичний рисунок (рис.5.4), де АК – висота, АМ – медіана, AN – бісектриса.

Рівняння висоти. Висота АК вектору ВС, тобто вектор (5-3, 4-0)= (2,4) є нормальним вектором до АК, яка проходить через точку А.

 

 

 
 

 


Рис.5.4

 

Рівняння АК:

.

, після скорочення

.

Другий спосіб.

Рівняння висоти АК знайдемо як рівняння прямої, що проходить через точку А і має кутовий коефіцієнт :

 

або .

 

Кутовий коефіцієнт знайдемо з умови АК ВС, тобто . Коефіцієнт має значення . Отже, . Рівняння висоти АК: , або . Довжину висоти АК знайдемо за формулою відстані точки А від прямої ВС: , де загальне рівняння прямої ВС. Рівняння прямої, яка проходить через дві точки В і С: . Отже, маємо або . Тоді .

Рівняння медіани можна скласти як рівняння прямої АМ, яка проходить через дві точки А і М, причому координати точки М знаходимо за формулами:

 

, , або , .

 

Рівняння медіани АМ дістанемо у вигляді

 

, , або .

 

Довжину медіани знайдемо як відстань між двома точками:

 

,

.

 

Рівняння і довжину бісектриси AN можна знайти аналогічно рівнянню і довжині медіани АМ. Координати точки N дістанемо, скориставшись формулами

 

, ,

 

де – співвідношення, в якому точка N поділяє сторону ВС. Згідно із властивостями бісектриси трикутника . Довжину АВ і АС знаходимо як довжину між двома точками:

 

, .

 

Отже, і , .

Рівняння бісектриси:

 

, ,

або .

Довжина бісектриси

Площу трикутника обчислимо через модуль векторного добутку векторів і .

 

.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Розділ 3. Аналітична геометрія

На сайте allrefs.net читайте: Розділ 3. Аналітична геометрія.

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Нормальне рівняння прямої на площині, відстань від точки до прямої

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Лекція 5. Рівняння лінії на площині. Пряма та криві другого порядку
5.1. Поверхні та лінії у просторі. Їх рівняння. Геометричне тлумачення лінійного рівняння у двомірному та тримірному просторі. 5.2. Рівняння прямої, що проходить через задану точку. Загаль

Поверхні та лінії у просторі. Їх рівняння
  В аналітичній геометрії розв’язують дві основні задачі: 1. Множина точок задана геометричною властивістю. Знайти її рівняння та дослідити його властивості. 2. Дано

Рівняння прямої, що проходить через задану точку. Загальне рівняння прямої та його дослідження
Пряма на площині визначається, якщо задати точку , яка належить даній прямій, та нормальний вектор

Канонічне рівняння прямої, рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Пряму на площині можна задати таким чином: задати точку та напрямний вектор

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Рівняння прямої у відрізках на осях
Якщо дві точки та

Взаємне розміщення двох прямих на площині
  Нехай на площині задано дві прямі з нормальними векторами ;

Лінії другого порядку. Загальні рівняння.
  Загальне рівняння лінії другого порядку має вигляд   , &nbs

Канонічні рівняння кола та еліпса
  Колом називається множина точок, відстань кожної з яких до однієї точки, що називається центром, є величина стала. Відстань будь-якої точки кола від її центра – це

Канонічне рівняння гіперболи. Асимптоти гіперболи.
Гіперболою називається множина точок, для яких різниця відстаней від двох фіксованих точок площини, що називаються фокусами, є величина стала. Якщо точка

Парабола. Канонічне рівняння.
  Параболою називається множина точок, відстань яких від фокуса дорівнює відстані від директриси (рис.5.9). Знайдемо канонічне рівняння параболи на основі її геометричної вла

Запитання для самодіагностики
  1. Що таке рівняння лінії? 2. Який вигляд має загальне рівняння прямої? 3. Як записати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом? 4. Який вигляд має рівняння

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги