НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ В ЛІНІЙНОМУ НОРМОВАНОМУ ПРОСТОРІ. УМОВИ ІСНУВАННЯ ТА ЄДНОСТІ ЕЛЕМЕНТА НАЙКРАЩОГО НАБЛИЖЕННЯ.
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ В ЛІНІЙНОМУ НОРМОВАНОМУ ПРОСТОРІ. УМОВИ ІСНУВАННЯ ТА ЄДНОСТІ ЕЛЕМЕНТА НАЙКРАЩОГО НАБЛИЖЕННЯ. - раздел Философия, НАБЛИЖЕННЯ ЧИСЕЛ. ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ Нехай ...
Нехай - лінійний нормований простір, , -лінійно-незалежні елементи. Через позначимо лінійний підпростір узагальнених многочленів виду , де . Множина , де , обмежена знизу наприклад нулем. Тому існує - найкраще наближення. Виникає питання чи в множині існує елемент : (*). Якщо такий елемент існує, то його називають елементом найкращого наближення функції многочленами з множини .
Означення:довільний елемент для якого виконується умова (*) називається елементом найкращого наближення для функції
Теорема 1:Для в множині існує елемент найкращого наближення, множина таких елементів опукла.
Зауваження: елемент найкращого наближення не обов’язково один. Наприклад, розглянемо простір векторів з нормою . Візьмемо точку і візьмемо одновимірний підпростір з базисними векторами . Очевидно, що при . Таким чином маєм нескінченну множину елементів найкращого наближення.
Теорема 2: Якщо простір строго – нормований, то елемент найкращого наближення єдиний.
Теорема 3: (характеристика елемента найкращого наближення) Якщо в множині існує елемент - елемент найкращого наближення для функції , то тоді для .
Теорема 4: Якщо : , то - елемент найкращого наближення для функції f многочленна М.
Як побудувати елемент найкращого наближення в просторі з скалярним добутком?
Нехай , - лінійно-незалежні елементи. Комбінації утворюють лінійний простір. Якщо деякий елемент є елементом найкращого наближення для функції , то згідно з теоремою 3 різниця ортогональна до всіх елементів підпростору , в тому числі й до елементів , . Тобто (1) для . Оскільки елемент найкращого наближення існує, то система (1) має розв’язок. Користуючись теоремою 4 можна довести, що розв’язок системи (1) є елементом найкращого наближення функції . Методом від супротивного можна довести, що такий елемент єдиний. Таким чином в просторі з скалярним добутком відшукання елемента найкращого наближення виду зводиться до розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (1), яку зручніше записати у вигляді: , . (2)
Метод Гауса
Теоретичні відомості
Найпростішим методом розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь є метод послідовного включення змінних, або метод Гауса. Є кілька модиф
ФОРМУЛИ ТРАПЕЦІЇ.
В формули (1), (2) підставимо , тоді з формули (2) будемо мати:
КУСКОВО-КУБІЧНА СПЛАЙН ІНТЕРПОЛЯЦІЯ.
Означення: Сплайном називається функція для якої існує поділ її області визначення на підобласті, такі що в середині кожної підобласті ця функція є многочленом деякого степеня
Найкращого наближення.
Теорема Веєрштраса вказує що найкраще наближення існує, але не дає практичного способу побудови.
Ефективних способів точної побудови многочлена найкращого наближення до даної функції не іс
Новости и инфо для студентов