Метод скінчених різниць для граничної задачі, для лінійного диференціального рівняння другого порядку з змінними коефіцієнтами.
Метод скінчених різниць для граничної задачі, для лінійного диференціального рівняння другого порядку з змінними коефіцієнтами. - раздел Философия, НАБЛИЖЕННЯ ЧИСЕЛ. ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ Нехай Задане Диференціальне Рівняння:
...
Нехай задане диференціальне рівняння:
(1)
і крайові умови: (2) або
(2‘)
(2)
Потрібно знати розв‘язок диференціального рівняння у вигляді таблиці значень на .
Розіб‘ємо на частини точками:
, ,
Другу похідну в рівнянні (1) замінимо різницевим відношенням:
Тоді отримаємо систему:
(3)
В залежності від крайових умов до системи (3) будуть додані рівняння:
(4)
(4‘)
Враховуючи формули чисельного диференціювання функцій інтерполювання многочленами Ньютона.
або
(4‘‘)
Отримаємо систему рівнянь з невідомими. Дана система буде мати єдиний розв‘язок якщо відповідна однорідна система (випадок коли ) матиме лише тривіальний розв‘язок.
Введемо позначення:
Лема1. Нехай дана довільна система з точок:
Якщо , для довільного , то найбільшим додатнім числом серед може бути або .
Нехай - найбільше додатне число, .
Тоді існують числа , . Маємо:
, тоді випливає
, тобто
, що неможливо.
Лема2. Якщо задана система точок і виконується умова , , то найменшим від‘ємним числом серед може бути лише або .
Доведення аналогічне.
Доведемо, що система (3) з крайовими умовами (4), (4‘), (4‘‘) має лише тривіальний розв‘язок у випадку коли .
1. Нехай маємо (3) і умови (4). Якщо існує ненульовий розв‘язок, то серед чисел є найбільше додатне або найменше від‘ємне, а це суперечить Лемі 1 або 2.
2. Нехай маємо (3) і умови (4‘), маємо:
Якщо існує ненульовий розв‘язок, то серед чисел є найбільше додатне або найменше від‘ємне. Знову суперечність з Лемою 1 або 2.
3. Система (3) і умови (4‘‘): і хоча б одне з них не дорівнює 0. Тоді в (3) підставимо :
Визначивши з () і підставимо в ().
(5)
Аналогічне підставивши в систему (3) маємо:
З останньої системи можна визначити:
(6)
Розглянемо рівності (5) і (6). Нехай знову існує деякий нетривіальний розв‘язок системи, тоді найбільше додатне або найменше від‘ємне число можуть бути або .
Нехай - найбільше додатне число, тоді крок виберемо настільки малим щоб:
, тоді з (5):
, що неможливо з Лемою.
Щоб отримати таблицю розв‘язків диференціального рівняння при всіх розглянутих крайових умовах слід розв’язати одним з відомих способів систему (3) і (4) або (4‘) або (4‘‘).
Якщо позначити наближений а - точний розв‘язки, тоді величина: вказує похибку в вузлі . Можна довести, що похибка оцінюється таким співвідношенням:
(7)
Заваження1: Розглянутий метод можна застосувати також для рівнянь виду:
(8)
з умовами:
(9)
Якщо другу похідну замінити так само як в попередніх випадках, а першу похідну так:
, отримаємо:
(10)
Зауваження2: Похідні замінюють таким співвідношенням:
(11)
В усіх розглянутих випадках похибка оцінюється нерівністю (7).
Метод Гауса
Теоретичні відомості
Найпростішим методом розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь є метод послідовного включення змінних, або метод Гауса. Є кілька модиф
ФОРМУЛИ ТРАПЕЦІЇ.
В формули (1), (2) підставимо , тоді з формули (2) будемо мати:
КУСКОВО-КУБІЧНА СПЛАЙН ІНТЕРПОЛЯЦІЯ.
Означення: Сплайном називається функція для якої існує поділ її області визначення на підобласті, такі що в середині кожної підобласті ця функція є многочленом деякого степеня
Найкращого наближення.
Теорема Веєрштраса вказує що найкраще наближення існує, але не дає практичного способу побудови.
Ефективних способів точної побудови многочлена найкращого наближення до даної функції не іс
Новости и инфо для студентов